高等代数13级数学系《高等代数2》(B)

1井冈山大学数理学院2013~2014学年度第二学期《高等代数2》期末试卷（B卷）2014年6月题型填空题选择题计算题证明题合计得分阅卷人一、填空题（每小题4分，共20分）1.已知3阶方阵123000000aAaa，其中1230aaa，则1A.2.已知实二次型2221231231213(,,)2322fxxxxxxxxxx正定，则的取值范围是.3.在3P中，已知123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；1(1,1,1),2(1,1,0),3(1,0,0)，则基123,,到基123,,的过渡矩阵是.4.在22P中定义线性变换()abXXcd，则在基11122122,,,EEEE下的矩阵是.5.设3阶方阵A的特征值为1,1,2，则行列式5AE.二、选择题（每小题4分，共20分）1.设A是3级方阵，秩(A)1，则().(A)秩()A3；(B)秩()A2；(C)秩()A1；(D)秩()A0.2.设1221A，则在实数域上与A合同的矩阵为（）.(A)2112；(B)2112；(C)2112；(D)1221.3.设向量组123,,线性无关，则下列向量线性相关的是()(A)122331,,；(B)122331,,；(C)1223312,2,2；(D)1223312,2,2.学院班级姓名学号24.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为().(A)0,2ab；(B)0,ab为任意常数；(C)2,0ab；(D)2,ab为任意常数.5.设是线性空间V上的线性变换，12,,,n的一维不变子空间，并且12nV，则V中一定存在一个基，使得在该基下的矩阵为（）.(A)对角矩阵；(B)反对此矩阵；(C)可逆矩阵；(D)非对称的上三角矩阵.三、计算题：（每题10分，共50分）1.解下列矩阵方程120144212531213X.2.用非退化线性替换把下列二次型化为标准形：222123123121323(,,)2444fxxxxxxxxxxxx并求相应的非退化线性替换.33.在4P中，1123212(,,),(,)VLV，其中1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1)，3(0,3,2,1)，12(2,1,0,1),(1,1,3,7),.分别求12,VV12VV的一个基和维数.4.设是数域P上4维线性空间V上的一个线性变换，它在V的一个基1,234,,下的矩阵为0001000200030004A试问：是否对角化？如果可对角化，求V的一个基，使得在此基下的矩阵是对角阵，并且写出这一个对角矩阵.45.设V是3维欧氏空间，V中指定的内积在基123,,下的度量矩阵为1010102122A，求V的一个标准正交基.四、证明题（10分）设是数域P上3维线性空间V上线性变换，V，2()0,但3()0.证明：2,(),()是V的一组基.