常见不等式的解法

常见不等式的解法一、分式不等式例1、解不等式：解：方法一：由2231xx2231xx整理得：02355xx02231xx023055)2(023055(1)xx或xx不等式组（1）的解集为（），不等式组（2）的解集为Ø.132，所以原不等式的解集为不等式组（1）的解集和不等式组（2）的解集的并集（）132，得：例1、解不等式：解：方法二：2231xx2231xx(5x-5)(3x-2)002355xx1x32方法小结•本例提供的两种方法都是先移项，将不等式的一边变为零，另外一边经过通分后转化为形如的形式。•方法一讨论f(x)和g(x)的正负，通过解整式不等式组求得解集。•方法二通过整式不等式f(x)g(x)0(或0)求得解集。0)(0)()(或xgxf0)0(或g(x)0)0(或f(x)例2：解不等式1121xx1121xx解：0122012201121xxxxxx所以原不等式的解集为:}221|{xxx或0120201202xxxx或0120201202xxxx或0120)12)(2(xxx求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变换！0)(0)(0)(0)(0)(0)()(0)()(xgxfxgxfxgxgxfxgxf或Ⅰ.解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。0)(0)(0)(0)(0)()(0)()(xgxfxgxfxgxfxgxf或二、高次不等式的解法.0)54)(9(.122xxx解不等式例0)5x)(1x()3x)(3x(:原不等式等价于解X35135x3x13xx或或原不等式解集为一元高次不等式的解法:数轴标根法.注意:未知数的系数为正..0)124)(9(.22xxx解不等式若改为：.0)2()1()1(.222xxx解不等式例1,12,解集为.0)2)(1)(1(.2xxx解不等式练习123132xxx例3解不等式原不等式解:02x33x21x10)2x)(3x)(1x(1x0)2x)(3x)(1x(1xX12311x1x23xx或或原不等式解集为三、参数不等式的解法含参数的不等式的解法对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准。一元一次不等式ax+b0(0)参数划分标准：一元二次不等式ax2+bx+c0(0)参数划分标准：（2）判别式△0,△=0,△0（3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小，x1x2，x1=x2，x1x2一次项系数a0,a=0,a0（1）二次项系数a0,a=0,a0例1解关于的不等式00652aaaxax解:032)65(2xxaxxa∴(1)当时，原不等式变形为:0a32|xxx或32|xx∴(2)当时，原不等式变形为:0a例题讲解032xx∴当时，原不等式解集为:0a032xx分析:因为且，所以我们只要讨论二次项系数的正负.0a0∴当时，原不等式解集为:0ax综上所述：0|23axxx时，原不等式解集为：或0|23axx时，原不等式解集为：又不等式即为(x-2a)(x-3a)0解:原不等式可化为：0)3(2axax相应方程的两根为0)3(2axaxaxax3,221∴(1)当即时，原不等式解集为23aa0a|23xxaxa或分析:2225240aaa此不等式故只需比较两根2a与3a的大小.(2)当即时，原不等式解集为0a23aa|32xxaxa或例题讲解22.560(0)xxaxaa例2解关于的不等式：综上所述：0|23axxaxa时，原不等式解集为：或0|32axxaxa时，原不等式解集为：或例题讲解例3:解关于的不等式:x220xkxk原不等式解集为解：228844kkkkkkxx由于的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.2x28kk（１）当即时，280kk80k原不等式解集为（２）当时得280kk08kk或0xx解集为：2xx解集为：分析:（３)当即时,280kk08kk或∴(a)当时,原不等式即为0k022x∴(b)当时,原不等式即为8k08822xx(3)当时,不等式解集为80k0xx(4)当时,不等式解集为0k(2)当时,不等式解集为2xx8k综上所述，(1)当时,不等式解集为8k228844kkkkkkxx228844kkkkkkxx(5)当时,不等式解集为0k10x1{|1}xxa1{|1}xxa解:{|1}.xx解集为：即时，原不等式的解集为：1a（a）当11a例4:解关于的不等式：.01)1(2xaaxx（1)当时，原不等式的解集为：0a（二）当时,0a（一）当时,原不等式即为0a0)1)(1(xax1{|1}xxxa或（2)当时，有：0a11a（b）当11a（c）当即时，原不等式的解集为：10a即时，原不等式的解集为：1a原不等式变形为：其解的情况应由对应的两根与1的大小关系决定，故有：a1例题讲解解不等式042axx解：∵162a4,40a当即时R∴原不等式解集为；40a当即时,2axxRx且原不等式解集为；440aa当或即时，,此时两根分别为21621aax21622aax，显然21xx,∴原不等式的解集为：21621622aaxaaxx〈或例5：例题讲解四、作业：解下列不等式3、（3x-1)(5-2x)(x3-8)04、x4-4x3+x2+6x02、（x-1)(x2-5x+6)(x2-x-2)200872..5232xxxxx323xx712119..622xxxx049)1(2208..722mxmmxxx若不等式Rx对一切都成立求实数m的取值范围。8.解关于的不等式：x21(1)0xaxa（）21()10（2）xaxa22(1)40（3）mxmx210.（4）axax2,()22()0,B{13},9.已知：二次函数，设不等式的解集为又知集合，若求的取值范围。aRfxaxxafxAxxABa；练习x解关于的不等式：21(1)0xaxa（）2(2)20xaxa（2）1{|1}axax时，不等式的解集为1a时，不等式的解集为1{|1}axxa时，不等式的解集为2{|2}axxa时，不等式的解集为2a时，不等式的解集为2{|2}axax时，不等式的解集为；练习21()10xaxa（3）242(1)40mxmx（）x解关于的不等式：1101{|}aaxxaa或时，不等式的解集为1a时，不等式的解集为111{|}aaxaxa或0时，不等式的解集为201{|2}mxxm时，不等式的解集为1m时，不等式的解集为21{|2}mxxm时，不等式的解集为20{|2}mxxxm时，不等式的解集为或0{|2}mxx时，不等式的解集为；练习x解关于的不等式：2510.axax（）40a时，不等式的解集为R14{|}2axx时，不等式的解集为22440{|}22aaaaaaaxxaa时，不等式的解集为22444{|}22aaaaaaaxxxaa时，不等式的解集为或2,()22()0,B{13},aRfxaxxafxAxxABa已知：二次函数，设不等式的解集为又知集合，若求的取值范围。练习2()0220fxaxxa解：,即，22121220aaxxaxa方程的两个根为：=，221211210|aaaxxxaa时，A=或，B{13},xxAB又，21213aa6(,)7a解得：221211210|aaaxxaa时，A=，B{13},xxAB又，21211aa(,2)a解得：6,2,7综上所述：a