等比数列前n项和公式教案

1课题:§2.5等比数列的前n项和Ⅱ.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。1、等比数列的前n项和公式：当1q时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②当q=1时，1naSn当已知1a,q,n时用公式①；当已知1a,q,na时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列naaaa,,321它的前n项和是nSnaaaa321由11321nnnnqaaaaaaS得nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111nnqaaSq11)1(∴当1q时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②当q=1时，1naSn公式的推导方法二：有等比数列的定义，qaaaaaann12312根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannnnn112132即qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：nSnaaaa321＝)(13211naaaaqa2＝11nqSa＝)(1nnaSqaqaaSqnn1)1(（结论同上）课题:§2.5等比数列的前n项和●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：当1q时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②当q=1时，1naSn当已知1a,q,n时用公式①；当已知1a,q,na时，用公式②课题：数列复习小结教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．32．等差、等比数列中，a1、na、n、d(q)、nS“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识精要：1、数列[数列的通项公式])2()1(111nSSnSaannn[数列的前n项和]nnaaaaS3212、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]1．定义法：对于数列na，若daann1(常数)，则数列na是等差数列。2．等差中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等差数列。[等差数列的通项公式]如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和]1．2)(1nnaanS2.dnnnaSn2)1(1[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项]如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2baA或baA2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。[等差数列的性质]1．等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(2.对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。43．若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。3、等比数列[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q）。[等比中项]如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即abG2。[等比数列的判定方法]1．定义法：对于数列na，若)0(1qqaann，则数列na是等比数列。2．等比中项：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等比数列。[等比数列的通项公式]如果等比数列na的首项是1a，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa。[等比数列的前n项和])1(1)1(1qqqaSnn)1(11qqqaaSnn当1q时，1naSn[等比数列的性质]1．等比数列任意两项间的关系：mnmnqaa2．对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa4．若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：4、数列前n项和（1）重要公式：2)1(321nnn；6)12)(1(3212222nnnn；2333)]1(21[21nnn奎屯王新敞新疆（2）裂项求和：111)1(1nnnn；