向量的概念

课时作业13向量的概念时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列命题中正确的个数为()①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB→与CD→共线，则A、B、C、D四点共线；③若非零向量a与b共线，则a＝b；④四边形ABCD是平行四边形，则必有|AB→|＝|CD→|；⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①显然错误；②中AB→与CD→共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以②错；③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；④对；⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．答案：B2.如图所示，圆O上有三点A，B，C，则向量BO→，OC→，OA→是()A．有相同起点的相等向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：模都等于半径，但方向不同．答案：C3．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④共线向量一定在同一直线上．其中，正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：对于①，时间没有方向，不是向量，故①错；对于②，零向量的模为0，故②错；③正确；对于④，共线向量不一定在同一直线上，故④错．答案：B4．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是()A．图中所标出的向量中与AB→相等的向量只有1个(不含AB→本身)B．图中所标出的向量中与AB→的模相等的向量有4个(不含AB→本身)C.BD→的长度恰为DA→长度的3倍D.CB→与DA→不共线解析：易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量AB→＝DC→；对于B，|AB→|＝|DC→|＝|DA→|＝|CB→|＝|CA→|；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则|BD→|＝3|DA→|；对于D，CB→∥DA→成立，故D是错误的．答案：D5．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是()A．|AB→|＝|EF→|B.AB→与FH→共线C.BD→＝EH→D.DC→与EF→共线解析：A一定成立，B一定成立，D因DC→与EF→一定不共线，故一定不成立，故选C.答案：C6．已知向量a，b是两个非零向量，AO→，BO→分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()A.AO→＝BO→B.AO→＝BO→或AO→＝－BO→C.AO→＝1D．|AO→|＝|BO→|解析：AO→，BO→是单位向量，∴|AO→|＝|BO→|＝1.答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．如图，四边形ABCD为等腰梯形，向量AB→与DC→的关系是________．解析：体会模相等的两向量与相等向量的区别．答案：|AB→|＝|DC→|8.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，AC→的模为2，BC→的模为3，AD→的模为1，那么DB→的模为________．解析：由三角形内角平分线的性质，得|AC→BC→|＝|AD→DB→|，故|DB→|＝32.答案：329．给出下列命题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同、终点相同时才相等；②若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；④若a＝b，b＝c，则a＝c.其中所有正确命题的序号为________．解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故①不正确．AB→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；在平行四边形ABCD中|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故③正确．a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，④正确．答案：③④三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．某人从A点出发向西走了150m到达B点，然后改变方向向北偏西30°走了150m到达C点．(1)作出向量AB→，BC→，AC→；(2)求|CA→|.解：依题意作出向量，运用向量的几何意义求解．解：(1)作出向量如图．(2)∵∠ABC＝120°，|AB→|＝|BC→|，∴△ABC为等腰三角形，取AC中点D，连接BD，则BD⊥AC.在Rt△ABD中，|AD→|＝32×150，即|AD→|＝753，∴|AC→|＝2|AD→|＝1503.∴|CA→|＝|AC→|＝1503.11.如下图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的点，已知AD→＝DB→，DF→＝BE→，试推断向量DE→与AF→是否为相等向量，说明你的理由．解：∵AD→＝DB→，∴|AD→|＝|DB→|，从而D是AB的中点．∵DF→＝BE→，∴DF→与BE→是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.∴F是AC的中点．由三角形中位线定理知，DF＝12BC，又|DF→|＝|BE→|，即DF＝BE，从而E为BC的中点．于是DE∥AC，且DE＝12AC.∵F是AC的中点，∴AF＝12AC，∴DE綊AF.故DE→＝AF→.12．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC→|＝5.(1)画出所有的向量AC→；(2)求|BC→|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC→如下图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC→|取得最小值12＋22＝5；②当点C位于点C5或C6时，|BC→|取得最大值42＋52＝41，∴|BC→|的最大值为41，最小值为5.