向量的数乘含答案

课时作业16数乘向量时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中，正确的说法是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．答案：B2．若|a|＝5，b与a的方向相反且|b|＝7，a＝λb，则λ等于()A.57B．－57C.75D．－75解析：|a||b|＝57，又方向相反，∴λ＝－57.答案：B3．已知a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，则3a－2b＝()A．9e1＋4e2B．0C．7e2＋2e1D．－3e1＋7e2解析：3a－2b＝3e1＋3e2－6e1＋4e2＝－3e1＋7e2.答案：D4．平面上有一个△ABC和一点O，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，又OA，BC的中点分别为D，E，则向量DE→等于()A.12(a＋b＋c)B.12(－a＋b＋c)C.12(a－b＋c)D.12(a＋b－c)解析：DE→＝DO→＋OE→＝－12OA→＋12(OB→＋OC→)＝－12a＋12b＋12c.答案：B5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的三等分点解析：∵AB→＝PB→－PA→，∴PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→，即2PA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，故AP→＝12PC→，∴P是AC的一个三等分点．答案：D6．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b解析：如图，CD平分∠ACB，由角平分线定理得ADDB＝ACBC＝|b||a|＝2，所以AD→＝2DB→＝23AB→，所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．点C在线段AB上，且ACCB＝32，则AC→＝________AB→，BC→＝________AB→.解析：ACCB＝32，C在线段AB上，如图设AC＝3，则CB＝2，∴AB＝5，∴AC→＝35AB→，BC→＝－25AB→.答案：35－258．在▱ABCD中，E，F分别在DC和AB上，且DE＝113DC，AF＝1213AB，则AE→与CF→的关系是________．解析：设AD→＝a，AB→＝b，∵DE＝113DC，AF＝1213AB，∴AE→＝AD→＋DE→＝a＋113b，CF→＝CB→＋BF→＝－(a＋113b)＝－AE→.答案：CF→＝－AE→9.如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．解析：MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝－12BC→＋BA→＋34AC→＝－12AD→－AB→＋34(AB→＋AD→)＝－12b－a＋34(a＋b)＝14b－14a＝14(b－a)．答案：14(b－a)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．计算：25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)．解：25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝(25－23＋415)a＋(－25－43＋2615)b＝0a＋0b＝0.11.如图所示，△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AE→，BC→，DE→，DN→，AM→，AN→.解：∵DE∥BC，AD→＝23AB→，∴AE→＝23AC→＝23b，BC→＝AC→－AB→＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE→＝23BC→＝23(b－a)．又AM是△ABC底边BC的中线，DE∥BC，∴DN→＝12DE→＝13(b－a)．AM→＝AB→＋BM→＝a＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．∵△ADN∽△ABM，AD→＝23AB→，∴AN→＝23AM→＝13(a＋b)．12．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，CDDA＝AEEB＝12，记BC→＝a，CA→＝b.求证：DE→＝13(b－a)．解：因为AE→＝13AB→＝13(CB→－CA→)＝13(－a－b)，AD→＝23AC→＝－23b，所以DE→＝AE→－AD→＝－13a－13b＋23b＝13(b－a)．