错位相减法求和-优秀教学设计

教学设计一、课程基本描述课程名称：错位相减法课程内容所属学科：高中数学教材选用：人教A版必修五授课对象：高中学生课前准备：多媒体课件、笔记本电脑二、教学背景数列是高中数学的重要内容之一，数列的求和是高考重点考查内容，错位相减法在书本上没有专门的要求，但错位相减法是求和中考察最多的，考察有变革，有创新，但在变中有不变性，因此，要求考生有效地分析通项，然后根据通项特征选择相应的求和方法。而错位相减法就是针对一个由等差数列{an}及一个等比数列{bn}对应项之积组成的数列求和方法．由等比数列求和的推导后，考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此类题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项或符号的正负出错，特别是含字母的需要讨论等，需要学生在不断的尝试练习、巩固练习中来提高学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力，体现数学的核心素养。三、教学目标1.知识与技能:会用错位相减求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。2.过程与方法：通过两等式错位相减，将不能求和的问题转化成能用等比数列求和的问题，让学生体会数学的转化思想。3.情感、态度与价值观：在学习的过程中，培养学生的探究能力、化归能力、运算能力，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、转化与化归的数学思想和方法、获得广泛的数学经验。教学重点：会用错位相减法求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。教学难点：错位相减后的项数、符号、计算问题，以及对转化数学思想的理解。教学方法：探究式教学四、教学过程错位相减法的基本介绍：通常一个公差为d的等差数列{an}与一个公比为q的等比数列{bn}的对应项的乘积构成的新数列cn={an·bn}，则求新数列的前n项和Sn，一般将{an·bn}的各项乘以其公比，并向后错一项与{an·bn}的同项对应相减，相减时通常是用系数大的项减去系数小的项，避免出现太多的负号，相减后的式子，有n+1项相加，然后再把n-1项构成的等比数列相加，再跟剩余两项能合并的合并，力求结果形式上简洁。（有字母的需要注意讨论公比q是否等于1）这就是错位相减法求和的基本步骤。例题展示1：求和𝑻𝒏=𝟏×𝟐+𝟒×𝟐𝟐+𝟕×𝟐𝟑+⋯+(𝟑𝒏‒𝟐)×𝟐𝒏解：（1）𝑻𝒏=𝟏×𝟐+𝟒×𝟐𝟐+𝟕×𝟐𝟑+⋯+(𝟑𝒏‒𝟐)×𝟐𝒏（2）𝟐𝑻𝒏=𝟏×𝟐𝟐+𝟒×𝟐𝟑+𝟕×𝟐𝟒+⋯+(𝟑𝒏‒𝟐)×𝟐𝒏+𝟏（𝟏）减（𝟐）得：‒𝑻𝒏=𝟏×𝟐+𝟑×𝟐𝟐+𝟑×𝟐𝟑+⋯+𝟑×𝟐𝒏‒(𝟑𝒏‒𝟐)×𝟐𝒏+𝟏=𝟑（𝟐+𝟐𝟐+𝟐𝟑+⋯+𝟐𝒏）‒(𝟑𝒏‒𝟐)×𝟐𝒏+𝟏‒𝟒=𝟑（𝟐𝒏+𝟏‒𝟐）‒(𝟑𝒏‒𝟐)×𝟐𝒏+𝟏‒𝟒=𝟑×𝟐𝒏+𝟏‒𝟔‒𝟑𝒏×𝟐𝒏+𝟏+𝟐𝒏+𝟐‒𝟒=𝟐𝒏+𝟐+𝟑（𝟏‒𝒏）×𝟐𝒏+𝟏‒𝟏𝟎所以：𝑻𝒏=𝟑（𝒏‒𝟏）×𝟐𝒏+𝟏‒𝟐𝒏+𝟐+𝟏𝟎跟踪练习：求和𝑻𝒏=𝟑×𝟏𝟑+𝟓×（𝟏𝟑）𝟐+𝟕×（𝟏𝟑）𝟑+⋯+(𝟐𝐧+𝟏)×（𝟏𝟑）𝐧例题展示2．已知等比数列的公比为，前项和为，，分{𝒂𝒏}𝒒≠𝟏𝒏𝑺𝒏𝒂𝟏+𝒂𝟑=𝑺𝟒𝑺𝟐𝒂𝟏‒𝟏,𝒂𝟐‒𝟏,𝒂𝟑‒𝟏别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.（Ⅰ）求数列的通项公式；{𝒂𝒏}（Ⅱ）设，求数列的前项和.𝒃𝒏=𝒂𝒏𝐥𝐠𝒂𝒏{𝒃𝒏}𝒏𝑻𝒏解：由分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项,𝒂𝟏‒𝟏,𝒂𝟐‒𝟏,𝒂𝟑‒𝟏得，𝒂𝟑‒𝟏‒(𝒂𝟏‒𝟏)=𝟒[(𝒂𝟐‒𝟏)‒(𝒂𝟏‒𝟏)]即，𝒂𝟑‒𝒂𝟏=𝟒(𝒂𝟐‒𝒂𝟏)因为，所以{𝒂𝒏}是等比数列𝒂𝒏≠𝟎即，𝒒𝟐‒𝟏=𝟒(𝒒‒𝟏)又因为，所以，𝒒≠𝟏𝒒+𝟏=𝟒，𝒒=𝟑由得，，所以，所以.𝒂𝟏+𝒂𝟑=𝑺𝟒𝑺𝟐𝒂𝟏+𝒂𝟏𝒒𝟐=𝑺𝟐(𝟏+𝒒𝟐)𝑺𝟐=𝟏+𝒒𝟐𝒂𝟏=𝟏𝒂𝒏=𝟑𝒏‒𝟏(Ⅱ)，𝒃𝒏=𝒂𝒏𝒍𝒈𝒂𝒏=(𝒏‒𝟏)⋅𝟑𝒏‒𝟏𝒍𝒈𝟑所以，（1）𝑻𝒏=[𝟎+𝟑+𝟐×𝟑𝟐+𝟑×𝟑𝟑+⋯+(𝒏‒𝟏)×𝟑𝒏‒𝟏]𝒍𝒈𝟑，（2）𝟑𝑻𝒏=[𝟎+𝟑𝟐+𝟐×𝟑𝟑+𝟑×𝟑𝟒+⋯+(𝒏‒𝟏)×𝟑𝒏]𝒍𝒈𝟑（𝟏）减（𝟐）得：‒𝟐𝑻𝒏=[𝟑+𝟑𝟐+𝟑𝟑+⋯+𝟑𝒏‒𝟏‒(𝒏‒𝟏)×𝟑𝒏]𝒍𝒈𝟑=𝟑(𝟏‒𝟑𝒏‒𝟏)𝒍𝒈𝟑𝟏‒𝟑‒(𝒏‒𝟏)⋅𝟑𝒏𝒍𝒈𝟑，=‒𝟑𝒍𝒈𝟑𝟐‒(𝒏‒𝟑𝟐)⋅𝟑𝒏𝒍𝒈𝟑所以.𝑻𝒏=𝟑𝒍𝒈𝟑𝟒+(𝒏𝟐‒𝟑𝟒)⋅𝟑𝒏𝒍𝒈𝟑五、教学总结错位相减法的一般步骤：1.把数列{an·bn}的各项乘以等比数列的公比2.向后错一项与{an·bn}的同项对应相减3.转化为等比数列的求和并化简六、作业布置已知等比数列{an}中，a1=2，an=2an﹣1（n≥2），等差数列{bn}中，b1=2，点P（bn，bn+1）在一次函数y=x+2的图象上．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}前n项和Tn．六、板书设计：错位相减法错位相减法的适用情况介绍练习一课堂小结例题一例题二作业布置七、教学反思：1.错位相减法的适用范围明确，但化简易错，学生易于理解。学生了解错位相减法的适用前提，但算不出正确的结果，故本课在板演的基础上强化化简过程。2.本课设计上一个难点就是如何设计例题，面对学习对象是学习过数列的高中学生，所以选择设计的题目在难度上较为侧重基础，以适应大众学生的认知水平，在跟踪练习题上，从两个方面设计：其一，等差数列通项变为，其二，将等比数列变为公比q小于1。使学生加深对错位相减法的理解并灵𝒂𝒏=𝟐𝐧+𝟏活应用。例题二难度相对大一点，适合基础好点的同学，充分理解等差、等比数列的定义转化后面的错位相减法求和。3.比较遗憾的是对错位相减法的来源没有讲解，讲授过程比较模式化。在今后的教学多注重学生的认知过程，知其然要知其所以然，拓展学生的认知水平，达到素质教育的目的。