矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。矩阵通常是用大写字母A、B…来表示。例如一个m行n列的矩阵可以简记为：，或。即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（aij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵A＝（aij）m×n和B＝（bij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（cij）m×n表示矩阵A及B的和，则有：式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：（1）交换律：A＋B＝B＋A（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB（2）（k＋h）A＝kA＋hA（3）k（hA）＝khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若：则矩阵的元素由定义知其计算公式为：（2-4）【例2-1】设有两矩阵为：，，试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C：其中：【例2-2】已知：A＝，B＝，求A、B两个矩阵的积。【解】计算结果如下：矩阵的乘法具有下列性质：（1）通常矩阵的乘积是不可交换的。（2）矩阵的乘法是可结合的。（3）设A是m×n矩阵，B、C是两个n×t矩阵，则有：A（B＋C）＝AB＋AC。（4）设A是m×n矩阵，B是n×t矩阵。则对任意常数k有：k（AB）＝（kA）B＝A（kB）。【例2-3】用矩阵表示的某一组方程为：（2-5）式中：（2-6）试将矩阵公式展开，列出方程组。【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得：（2-7）将上式右边计算整理得：（2-8）可得方程组：可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中称为改正数阵，称为误差方程组的系数阵，称为未知数阵，称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示。【解】现记：（2-9）则条件方程组可用矩阵表示成：精品文档，你值得期待（2-10）上式中称为条件方程组的系数阵，称为改正数阵，称为条件方程组的闭合差列阵。正所谓：“穿金戴银能怎样，平平凡凡又如何，只要你能知足，就什么都不缺”.要知道有的人虽然贫穷，但感觉很幸福；有的人虽然富有，但浮而不实，忧虑重重。当然，人间的一切不幸几乎都与钱有关，但有了钱并不代表真的幸福。乐观者的幸福府首皆拾，悲观者的幸福高山仰止。幸福到底是什么呢？幸福就是一家老、小、平平安安、团团圆圆，即使吃着粗茶淡饭，也满口香甜；幸福就是拥有一位甘苦与共、风雨同舟的知心朋友，可以有福同享有难同当；幸福就是拥有一颗平常心，过着比上不足，比下有余的日子，知足常乐！要知道幸福不是你有多少的钞票，也不是你有几座豪华的别墅、开什么牌子的名车，手上佩戴多少克拉的钻戒和多么华丽的衣裳。真正幸福的人，不一定拥有很多财富，但他们内心一定是踏实快乐的。所谓内心的幸福，是过着和谐的正常生活所感到的快乐，这种幸福和满足是任何金钱换不来的。幸福，其实很简单，不一定是高官显禄，腰缠万贯，而是要懂得怎样生活。只要您不放弃对美好生活的追求，一家人健健康康的活着，开开心心的过着，用一颗平常之心享受平淡生活的美好，快乐地度过人生中的每一天，这就是幸福！因为平淡是一种“福”,它能让我们调整心态，在五味杂陈的大千世界里去发现生活的和谐之美，做到真正的满足！正像黄磊所言：“平凡日常的记忆，最关一餐一饭。平淡生活的温暖处，也许就是与家人、孩子在一起分享美食，分享品味美食的愉快心情。无论走多远，最终也只是为了回家，回到餐桌前。”其实生命的过程，原本就是平平淡淡，就像一杯白开水，我们每天都在喝，不要羡慕别人喝的饮料里有各种颜色，其实未必有你的白开水解渴。不幸福是因为你的欲望太多，索求太多，在杯子里加入不同的成分，所以你的人生也就变得复杂起来。人生在世，浮浮沉沉，炎凉荣辱，需要的是在忙碌的生活中，求一份充实和简单，守一份心静，淡然的安洽于一份心静与知足。只要心简单了，世界就简单，那么到哪里都会有快乐！