第一轮复习自己整理绝对经典圆锥曲线第一轮

圆锥曲线题型总结（2015）一．圆锥曲线的定义第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。定义的试用条件：例1：已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的（）A．421PFPFB．621PFPFC．1021PFPFD．122221PFPF例2：方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是__________利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离：例3：如已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是__________例4：点A（3，2）为定点，点F是抛物线yx24的焦点，点P在抛物线y24x上移动，若||||PAPF取得最小值，求点P的坐标。利用定义求轨迹：例5：动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程例6：已知1F、2F是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的一个动点,如果延长1FP到Q,使得2PFPQ,那么动点Q的轨迹是()A、椭圆B、圆C、直线D、点例7：已知动圆P过定点)0,3(A，并且在定圆64)3(:22yxB的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.例8：已知)0,21(A，B是圆4)21(:22yxF（F为圆心）上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为定义的应用：例9：椭圆192522yx上一点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O是椭圆的中心，则ON的值是真题：【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916xyE的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且13PF，则2PF等于（）A．11B．9C．5D．3【2013新课标Ⅰ卷文科21】已知圆22:(1)1Mxy，圆22:(1)9Nxy，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长是，求||AB。【2015新课标1卷文科16】已知P是双曲线22:18yCx的右焦点，P是C左支上一点，0,66A，当APF周长最小时，该三角形的面积为．二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：椭圆：焦点在x轴上时：双曲线：焦点在y轴上时：焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：抛物线方程：求方程的方法：定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立等量关系例10：设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10,4(P，则C的方程为_______例11：与双曲线191622yx有相同渐近线，且经过点A（32，－3）的双曲线的方程是___________例12：已知直线l:y=x+3与双曲线143422yx，如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆，使椭圆与l有公共点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。例13：已知椭圆方程焦点在x轴，且过352,2324,1，与两点，则椭圆方程是___________例14：双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_______例15：椭圆220(0)axbyabab的焦点坐标是（）A．(,0)abB．(0,)abC．(,0)baD．D．(0,)ba例16：已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆3694:222yxC的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，－3），求椭圆C的方程。真题：【2015高考广东，理7】已知双曲线C：12222byax的离心率54e，且其右焦点25,0F，则双曲线C的方程为（）A．13422yxB.191622yxC.116922yxD.14322yx【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.【2015高考天津，理6】已知双曲线222210,0xyabab的一条渐近线过点2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线247yx的准线上，则双曲线的方程为()A．2212128xyB.2212821xyC.22134xyD.22143xy三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。例17：已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是例18：已知方程aykx22表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的范围是.例19：如果方程222kyx表示焦点在y轴上的椭圆，求实数k的取值范围。例20：方程15922kykx，k为时,方程为双曲线。当k为时，方程为焦点为x轴的椭圆。例21：方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。例22：已知抛物线241xy，则此抛物线的焦点坐标为.准线方程为.四.圆锥曲线的几何性质（离心率、渐近线等）离心率问题：椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；注重数形结合思想不等式解法双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：①范围：xa或,xayR；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0xykk；④离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：byxa抛物线（以22(0)ypxp为例）：①范围：0,xyR；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2px；⑤离心率：cea，抛物线1e。离心率求法：（1）画出图型，尽量把能表示的边都用关于cba,,的式子表示（2）通过几何关系，建立关于cba,,的等式（3）消去b，同时除以aa或2，解关于e的方程例23：椭圆G：22221(0)xyabab的两焦点为12(,0),(,0)FcFc，椭圆上存在点M使120FMFM.则椭圆离心率e的取值范围是.例24：在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为．例25：过椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点作直线l⊥x轴，交椭圆C于A，B两点，若△OAB(O为坐标原点)是直角三角形，则椭圆C的离心率e为.例26：设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为.例27：双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为.真题：【2015高考湖北，理8】将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）A．对任意的,ab，12eeB．当ab时，12ee；当ab时，12eeC．对任意的,ab，12eeD．当ab时，12ee；当ab时，12ee【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5B．2C．3D．2【2015高考湖南，理13】设F是双曲线C：22221xyab的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线22122:10,0xyCabab的渐近线与抛物线22:20Cxpyp交于点,,OAB，若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为.【2013新课标卷Ⅱ文科5】设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,,FFP是C上的点21212,30PFFFPFF，则C的离心率为()A．B．C．D．渐近线及其它问题：例28：设1F、2F分别为双曲线22221,xyab（a0、b0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点p，满足212PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为例29：已知1F、2F为双曲线22:2Cxy的左、右焦点，点P在C上，12||2||PFPF，则12cosFPF例30：过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于,AB两点，若||3AF，则||BF=例31：以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为例32：设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是真题：【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为2yx的是（）（A）2214yx（B）2214xy（C）2214yx（D）2214xy【2015高考重庆，理10】设双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．(1,0)(0,1)B．(,1)(1,)C．(2,0)(0,2)D．(,2)(2,)【2015高考上海，理9】已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C．若1C的渐近线方程为3yx，则2C的渐近线方程为．五．点、直线和圆锥曲线的关系：点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab；直线与圆锥曲线的位置关系：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；例33：当m为何值时,直线mxyl:和椭