第三章、网络的状态变量分析法

第三章网络的状态变量分析法§3-1概述§3-2简单网络状态方程的直观列写法§3-3网络状态方程的系统列写法§3-4状态方程的时域求解法§3-5状态方程的频域求解法§3-6计算机辅助分析§3-1概述北京邮电大学电子工程学院俎云霄状态：是指在某给定时刻网络所必须具备的最少信息量。他们和从该时刻开始的任一输入一起足以完全确定今后该网络在任何时刻的性状。状态变量：是网络的一组独立的动态变量，他们在任何时刻的值就组成了该时刻网络的状态。这样一组最少数目的变量，用矩阵列向量来表示就称为状态向量，简称状态。状态向量的一个分量就是状态变量。线性电路中，电容上的电压和电感中的电流是网络的状态变量。非线性电路中，电容上的电荷和电感中的磁链是网络的状态变量。)(tuC)(tiL)(tqC)(tL以状态变量作为未知量列写出的网络的一组方程就称为网络的状态方程。——状态方程+-RLC+-Cu)0(tK)(tusi)()(d)(dd)(d22tututtuRCttuLCsCCC)(d)(dtittuCC)()()(d)(dtututRittiLsC)(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttusCC)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittusLCLC——状态方程的矩阵形式——状态方程的标准形式令则有)()(1tutxC)()(2titxLsuxxxxBA2121LRLC110AL10B，，，Txx21defxTxx21defxsudefv如果再令则有BvAxxx称为状态向量，v称为输入向量。和x是n阶列向量，A为nn阶方阵，B为nm阶矩阵，v为m阶列向量。x状态方程的阶数称为网络的复杂性阶数。当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路和仅由电感支路和电流源支路构成的割集时，其复杂性阶数就等于储能元件的总数。§3-2简单网络状态方程的直观列写法北京邮电大学电子工程学院俎云霄直观列写法：根据KCL、KVL直接列写出节点或割集的电流方程和回路的电压方程，然后整理成状态方程的方法。例3－1试用直观法列写图示电路的状态方程。解si3iG1i2i+-Li4iRLC1C2+-1Cu2Cusul1对节点1和节点2分别列写KCL方程0dd311iituCLC0dd422iituCLC对回路l1列写KVL方程0dd12CCLuutiLsi3iG1i2i+-Li4iRLC1C2+-1Cu2Cusul1将方程中的非状态变量、用状态变量和已知量表示3i4i13CsGuiiRuuisC2421222221111111dd111dd11ddCCLsLCCsLCCuLuLtiuRCiCuRCtuiCiCuCGtu将此二式代入上面的三个方程中，并进行整理即得状态方程ssLCCLCCiuRCCiuuLLCRCCCGtitutu00011001111010dddddd2121221121写成矩阵形式为直观列写法的基本步骤：（1）对含有电容支路的节点或割集列写KCL方程；（2）对含有电感支路的回路列写KVL方程；（3）将非状态变量用状态变量和已知量表示；（4）消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。假设网络中没有纯电容和电压源组成的回路以及纯电感和电流源组成的节点或割集。§3-3状态方程的系统列写法北京邮电大学电子工程学院俎云霄特有树(propertree)：树支包含了网络中所有的电压源支路和电容支路，而其连支则包含了网络中的所有电流源支路和电感支路。选择了特有树后，对单电容树支割集，即基本割集列写KCL方程，对单连支回路，即基本回路列写KVL方程，如果方程中有非状态变量，则消去之，最后整理并写成标准形式即可。当网络中不存在仅由电容支路和电压源支路构成的回路（简称C－Us回路）和仅由电感支路和电流源支路构成的割集（简称L－Is割集）时，特有树总是存在的。注意：此时不采用复合支路的概念，而是以网络中的每个元件作为一条支路。状态方程例3－2试列写出图示网络的其状态方程。C2L7R6C4G5C3L8123409si1su+-167234598解画出有向图，给各支路编号，选择特有树如图中实线所示。对由树支2、3、4确定的基本割集列写KCL方程如下：722ddituCC7633ddiituCC8644ddiituCC状态方程对由连支7、8确定的基本回路列写KVL方程如下：3277ddCCLuutiL5488dduutiLCLC2L7R6C4G5C3L8123409si1su+-167234598将方程中的非状态变量、用状态变量和已知量表示5u6i)(11985555siiGiGu)(114316666CCsuuuRuRi状态方程将此二式代入上面的相应方程中，并进行整理得：98588548837277146844463464136734363363722111dd11dd1111dd1111dd1ddsLCLCCLsCCCsCCCCiLGiLGuLtiuLuLtiuCRiCuCRuCRtuuCRiCuCRuCRtuiCtu状态方程写成矩阵形式为918546368743285877446463363628743210000101001010000011101100111001000ddddddddddssLLCCCLLCCCiuLGCRCRiiuuuLGLLLCCRCRCCRCRCtititututu状态方程直观列写法的基本步骤：（1）画出网络的有向图，对支路进行编号，并选定一颗特有树，使其包含网络中的所有电压源和电容，而不包含任何电流源和电感；（2）以特有树的电容树支电压和电感连支电流为状态变量；（3）对单电容树支割集列写KCL方程；（4）对单电感连支回路列写KVL方程；（5）将非状态变量用状态变量和已知量表示；（6）消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。状态方程当网络中含有仅由电容和电压源组成的回路和（或）仅由电感和电流源组成的割集时，又该如何建立网络的状态方程呢？特有树包含：（1）全部独立电压源；（2）尽可能多的电容；（3）尽可能少的电感，但不包含独立电流源。还可能包含电阻（或电导）支路。复杂性阶数为：)(LCCLdnnnn：复杂性阶数或独立状态变量数；：电感和电容元件的总数；：独立C－Us回路数；：独立L－Is割集数。dnCLnCnLn状态方程按照先树支后连支的顺序写出基本割集矩阵和基本回路矩阵，元件类型的安排顺序为：对树支支路是电压源、电容、电阻（和电导）、电感，对连支支路是电流源、电感、电阻（或电导）、电容，即：00042413332312423222114131211FF1FFF1FFFF1FFFF1QutLtRtCustflllsltttstCRLiLRClLTTlRTTTlCTTTTislTTTTflllsltttstCRLiLRC1FF1FFF1FFFF1FFFFBu00000000000000024143323134232221241312111下标t表示树支，l表示连支。状态方程如果网络中有电容和电压源构成的回路，则必定有一个电容支路作为连支，而其余的电容均为树支。因此，在以此电容作为连支的基本回路中不会有电阻（或电导）和电感，所以，和均为零矩阵。同样，如果网络中有电感和电流源构成的割集，则必定有一个电感支路作为树支，而其余的电感均为连支。因此，在以此电感作为树支的基本割集中不会有电阻（或电导）和电容，所以，和均为零矩阵。根据和的关系可知，和也为零矩阵。T34FT44F43F44FfQfB34FT43F支路电压和支路电流列向量分别为：TlClRlLisltLtRtCustiiiiiiiiiTlClRlLisltLtRtCustuuuuuuuuu状态方程各元件的VCR为：或tRttRiRutRttRuGilCtCltlCtCtuuCCiidd00lLtLlllttlttlLtLtiiLLLLuuddlRllRuGilRllRiRu或电感之间无耦合时lLtLltlLtLtiiLLuudd00，1ttRG1llRGttLttllLtClLtClltdddd00iLuiiuLC0iQf0uBf状态方程lstslstslLtClLtCttiuBiuBiuAiuMdddd01000将非状态变量用状态变量和已知量表示，最终整理可得为：vBBvxAx1ˆˆ状态方程输出方程输出方程：以待求量（也称为输出量）为变量列出的方程。通常表示为状态变量和输入激励的线性组合。输出方程的一般形式为：DvCxy例3－2续求以节点1、2、3、4的电压作为输出的输出方程。C2L7R6C4G5C3L8123409si1su+-21Cnuu32Cnuu43Cnuu5984544GiiuuuusCCn输出方程写成标准形式为：91587432543211000000010100001000001000001ssLLCCCnnnniuGiiuuuGuuuu§3-4状态方程的时域解北京邮电大学电子工程学院俎云霄一阶微分方程的求解bvaxtxddbvaxx)(eebvaxxatatbvaxxatatateeebvxtatate)e(ddd)(ee00bvxttattad)(ee)()(00)()(0bvtxtxtttattad)(ee)(e)(000bvtxtxttaatat——一阶微分方程解的一般表达式零输入响应零状态响应BvAxx一阶微分方程组的求解d)(ee)()(00)()(0BvxxAAtttttttd)(ee)0()(0)(BvxxAAtttt零输入响应零状态响应称为状态转移矩阵()tAe)(t的求解方法tAe1拉氏变换法状态方程对应的齐次方程的拉氏变换式为：BvAxx0)()0()(sssAxx1x)0()()(1xA1xss)0()()(11xA1xsLt——方程的通解（零输入响应）d)(ee)0()(0)(BvxxAAtttt11)(eA1AsLt例3－4求的。解0213AtAesssss213021300)(A12332322123)(22221sssssssssssA1)1)(2(3)1)(2(2)1)(2(1)1)(2(ssssssss