高三一轮复习：集合与命题

第1页（共10页）高三一轮复习：集合【知识要点】一、集合的概念：能够确切指定的一些对象组成的整体。（“”、“”）1、元素的性质：确定性、无序性、互异性（检验）。2、集合的分类：有限集、无限集、空集（）；高中阶段常见数集和点集；常见的数集：N*、N、Z、Q、R、C。3、表示方法：列举法、描述法、图示法。二、集合之间的关系：1、子集：BA或AB。2、真子集：ABBA且BA。3、相等的集合：BABA且BA。【注】（1）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；（2）任何集合是其自身的子集；（3）集合的传递性：若BA，CB，则CA；（4）含有n个元素的集合的子集的个数为n2，真子集的个数为12n，非空子集的个数为12n，非空真子集的个数为22n。三、集合的运算：1、交集：BA{Axx|且Bx}；2、并集：BA{Axx|或Bx}；3、补集：UAð{Uxx|且Ax}。【例题解析】1、用列举法表示下列集合：（1）集合A{1|2xyy，2||x，xZ}；（2）集合B{1|),(2xyyx，2||x，xZ}；第2页（共10页）（3）集合83CxxxNZ，；【解】（1）A{1，0，3}；（2）B{)3,2(，)3,2(，)0,1(，)0,1(，)1,0(}；（3）C{2，1，1，5}。2、已知集合ππ24kAxxkZ，，ππ42kBxxkZ，，则集合A与B的关系是AB。【解】(21)π4kAxxkZ，，(2)π4kBxxkZ，，则AB。【变式】已知集合16MxxmmZ，，123nNxxnZ，，126pPxxpZ，，则三个集合之间的关系为MNP。【解】613(21)266mmMxxmZ，，326nNxxnZ，，313(1)266ppPxxpZ，，则MNP。3、已知集合A{1，a，b}，B{a，2a，ab}，若BA，求实数a和b。【解】由题意，得：abba21或21abab，解得：11ba或01ba。当1a，1b时，与元素的互异性矛盾，舍；当1a，0b时，BA{1，1，0}，满足题意。综上，1a，0b。【变式】已知集合A{2a，1a，3}，B{3a，12a，12a}，若BA{3}，求实数a的值。（1）第3页（共10页）4、已知集合P{06|2xxx}，S{01|axx}，若PS，求实数a的值。（实数a的值为0，31，21）5、已经集合A{043|2yyy}，集合B{321|axax}，若ABA，求实数a的取值范围。【解】)4,1(A，因为ABA，所以AB。当B时，得321aa，解得：2a；当B时，得432112aaa，解得：272a。综上，实数a的取值范围是27,。【变式】已知],2[aA，B{32|xyy，Ax}，C{2|xzz，Ax}，若CCB，求实数a的取值范围。【解】由题意得：2a，B{321|ayy}。当02a时，C{4|2zaz}；当20a时，C{40|zz}；当2a时，C{20|azz}；因为CCB，所以BC，从而43222aa或3222aaa，解得：221a或32a，所以实数a的取值范围是3,21。6、（1）已知集合A{1|2xyy，xR}，集合B{22|2xyx，xR}，则BA),1[；第4页（共10页）（2）已知集合A{1|),(2xyyx，xR}，集合B{22|),(2xyyx，xR}，则BA)}0,1(),0,1{(。7、（2009年上海卷）已知集合}1|{xxA，}|{axxB，且BAR，则实数a的取值范围是]1,(；【变式】已知集合}1|{xxA，{|}Bxxa，若AB，则实数a的取值范围是[1,)。8、设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为NM{Mxx|，Nx}。已知M{4|||xx}，N{06|2xxx}，则)(NMM[4,2)(3,4]。【解】]4,4[M，),3()2,(N，]4,3()2,4[)(NMNMM。9、已知集合3(,)12yAxyxyxRR，，，B{2|),(axyyx，xR，yR}，若AB，则实数a的值为112或；【变式】已知集合3(,)12yAxyxyxRR，，，B{(,)|1xyyx，xR，yR}，则()UABð{(2,3)}。10、判断以下命题的真假：（1）设全集UR，若A{013|2xxx}，则UAð{013|2xxx}；（√）（2）设全集UR，若A032xxx，则UAð032xxx。（×）第5页（共10页）【变式1】设集合A{4|4||2xmxxx}，若A0，A2，则实数m的取值范围是)2,4[；【变式2】设集合A21axaxa，若A2，A3，则实数a的取值范围是11,(2,3]32。11、某班有50名学生，其中18人参加了数学竞赛，20人参加了英语竞赛。已知两项竞赛都参加了的有8人，则两项都没参加的有20人。（图示法）【变式】设全集U{50|2xx，xN*}，()UABð{2，6}，()UBAð{1，4}，()()UUAB痧{5}，求集合A和B。【分析】U{1，2，3，4，5，6，7}，()()()UUUABAB痧?{5}，由图可得：A{1，3，4，7}，B{2，3，6，7}。5U3714AB26第6页（共10页）命题与条件【知识要点】一、命题：可以判断真假的语句叫做命题。1、判断真命题需要证明，判断假命题只要举一反例即可。2、命题的四种形式：3、等价命题：对于两个命题A和B，如果BA，AB，那么A和B就叫做等价命题。一个命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与否命题也是等价命题。4、词语的否定形式：“是”与“不是”，“都是”与“不都是”，“且”与“或”，“＞”与“≤”，“至少一个”与“一个也没有”，“至多一个”与“至少两个”，“任意”与“存在”等。二、充分条件和必要条件：1、：①是的充分条件，②是的必要条件，③的充分条件是，④的必要条件是；2、：是的充要条件；3、，：①是的充分非必要条件，②是的必要非充分条件。三、子集与推出关系：设A、B都是非空集合，A{aa|具有性质}，B{bb|具有性质}，则BA等价于。【例题解析】1、写出命题“已知a、b∈Z，若a、b都是奇数，则ba是偶数”的其他三种命题并判断四个命题的真假。互否互否原命题：若，则逆命题：若，则否命题：若，则逆否命题：若，则互逆天互逆天互逆否天第7页（共10页）2、若A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的必要非充分条件，则D是A的必要非充分条件。3、判断下列各题中是的什么条件：（1）：两个数的和是有理数，：这两个数都是有理数；（必要非充分条件）（2）：集合BA，：CBCA；（充分非必要条件，反例如C）（3）：01x且02x，：021xx且021xx；（充要条件）【变式】：31x且32x，：621xx且921xx；（充分非必要条件）（4）若x、yR，：022yx，：0xy；（充分非必要条件）（5）若0ab，：1ab，：1ba；（充分非必要条件，：0ab或0ab，：0bba或0bba）（6）设),2[A，]3,(B，：Ax或Bx，：BAx；（必要非充分条件）（7）：21sin，：6ππ2k，kZ；（充分非必要条件）（8）：函数)(xf与)(xg同为奇函数或偶函数，：函数)()(xgxf为偶函数；（充分非必要条件，如1)(xxf，()1gxx）（9）：5xy，：2x或3y；（充分非必要条件）（10）：BA，：BAsinsin；（充分非必要条件）【变式】：BA，：BAtantan。（既不充分也不必要条件）4、（2013年上海卷文科）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（A）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件第8页（共10页）【变式】（2013年上海卷理科）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（B）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件5、（1）写出“0a，0b”的一个充分非必要条件和必要非充分条件；【解】一个充分非必要条件：1a，2b；一个必要非充分条件：aR，bR。（2）写出“2a，2b”的一个充要条件；【解】充要条件：4ba且0)2)(2(ba。【变式1】写出“2a，2b”的一个充要条件；（4ba且0)2)(2(ba）【变式2】写出“a和b一个比2大一个比2小”的一个充要条件。（0)2)(2(ba）6、与正整数n有关的数学命题，如果当kn（kN*）时该命题成立，则可推得当1kn时该命题也成立。现得知11n时命题不成立，那么可推得（C）（A）当10n时该命题成立（B）当12n时该命题成立（C）当10n时该命题不成立（D）当12n时该命题不成立【变式】（2007年上海卷理）设)(xf是定义在正整数集上的函数，且)(xf满足：“当2)(kkf成立时，总可推出2)1()1(kkf成立”。那么，下列命题总成立的是（D）（A）若9)3(f成立，则当1k时，均有2)(kkf成立（B）若25)5(f成立，则当5k时，均有2)(kkf成立（C）若49)7(f成立，则当8k时，均有2)(kkf成立（D）若25)4(f成立，则当4k时，均有2)(kkf成立7、已知集合A{0232|2xxx}，B{02|kxx}，写出BA的一个充分非必要条件，且这样的充分非必要条件有多少个？第9页（共10页）【解】2,21A。当B时，0k；当21B时，4k；当B{2}时，1k。而6CC2313，所以BA的一个充分非必要条件是0k，且这样的充分非必要条件有6个。【变式】已知函数3)1()1()(22xaxaxf，分别写出0)(xf（xR）的一个充分非必要条件和充要条件。（一个充分非必要条件：1a；充要条件：1113a或1a）8、若关于x的方程0322mmxx有两个大于1的实根，求实数m的取值范围。【解】设1x、2x为方程0322mmxx的两实根，由题意得：0)1)(1(21104921212122xxxxmxxmmR解得：253m。所以实数m的取值范围是,253。【变式】若关于x的方程012)2(2kxkx有两个小于2的实根，求实数k的取值范围。（实数k的取值范围是),12[0,41）9、（2003年全国卷）已