万有引力与航天知识点总结与练习

万有引力与航天一、基本概念1.开普勒三定律：轨道定律面积定律周期定律2.万有引力定律表达式：(G为引力常量：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。卡文迪许测出)适用条件：(1)质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。3.第一宇宙速度(又叫环绕速度)，其数值为7.9km/s计算方法：(1)由GMmR2＝mv2R得v＝GMR＝7.9km/s(2)由mg＝mv2R得v＝gR＝7.9km/s第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度、最大环绕速度。4.第二、三宇宙速度第二宇宙速度：v2＝11.2km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。第三宇宙速度：v3＝16.7km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。5．时空观经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝m01－v2c2。(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。狭义相对论的两条基本假设122mmFGr(1)相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是不同的。(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。二、常考点1.星体表面上的重力加速度问题计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得g′＝GMR＋h2所以gg′＝R＋h2R2(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析。2.天体质量和密度的估算估算天体问题应注意三点(1)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h，公转周期为365天等。(2)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。(3)注意密度公式ρ＝3πGT2的理解和应用。中心天体质量和密度的计算方法(1)若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r，根据GMmr2＝mg得M＝gr2G；(2)若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据GMmr2＝mv2r得M＝rv2G；(3)若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，由GMmr2＝m4π2T2r得M＝4π2r3GT2；(4)若已知卫星运行的线速度v和周期T，根据GMmr2＝mv2πT和r＝vT2π得M＝v3T2πG。（5）.要想求中心天体的密度，还要知道中心天体的半径R，由M＝ρV和V＝43πR3求天体的密度。3.卫星运行参量的分析与计算（1）．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系v＝GMrω＝GMr3T＝4π2r3GMan＝GMr2当r增大时v减小ω减小T增大an减小（2）近地卫星：近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近2RGMg，所以有min85101.52,/109.733sgRTsmgRv。它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。（3）地球同步卫星：（通讯卫星）（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h；（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T不变）；（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。对同步卫星：运动规律：4.双星模型双星的特点(1)两星的角速度、周期相等；(2)两星做匀速圆周运动的向心力相等，都等于两者之间的万有引力；(3)两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离。2.三星模型(1)三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行。其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力：Gm2R2＋Gm2（2R）2＝ma。(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。每颗行星运动所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。2×Gm2L2cos30°＝ma，其中L＝2Rcos30°。除满足各星的角速度相等以外，还要注意分析各星做匀速圆周运动的向心力大小和轨道半径。三、利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路(1)一个模型rTmrmrvmrGMm2222)2(天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。(2)两组公式F引=F向F引=G重GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝mamg＝GMmR2(g为星体表面处的重力加速度)四、天体运动中的“四大难点”1.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题（1）．轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同r近＝r物。（2）．运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2πr3GM可知，T近T同＝T物。（3）．向心加速度：由GMmr2＝ma知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。由a＝rω2＝r2πT2知，a近a同a物。（4）．动力学规律：(1)近地卫星和同步卫星满足GMmr2＝mv2r＝mω2r＝ma。(2)赤道上的物体不满足万有引力充当向心力即GMmr2≠mv2r。2.卫星的变轨问题卫星变轨的原因：(1)由于对接引起的变轨(2)由于空气阻力引起的变轨卫星变轨的实质：(1)当卫星的速度突然增加时，GMmr2mv2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速率比原轨道时减小。(2)当卫星的速率突然减小时，GMmr2mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速率比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。3.天体运动中的能量问题（1）．卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。（2）．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足GMmr2＝mv2r，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。4.卫星的追及相遇问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。五、选择题1.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(A)A.4π2aGbB.4π2bGaC.Ga4π2bD.Gb4π2a2..(多选)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g，地球半径为R，图2中PQ长约为8R，卫星在变轨过程中质量不变，则(bc)A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为(hR＋h)2gB．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝gR2R＋hC．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率D．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法正确的是(C)A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1nB.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得速度的1nC.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1nD.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1n4.如图所示，甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，已知甲卫星的周期为N小时，每过9N小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，则甲、乙两颗卫星的线速度之比为(A)A.392B.332C.233D.2395.2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月，以月面为零势能面。“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝GMmhRR＋h，其中G为引力常量，M为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(D)A.mg月RR＋h(h＋2R)B.mg月RR＋h(h＋2R)C.mg月RR＋h(h＋22R)D.mg月RR＋h(h＋12R)6.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(C)A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接7.美国宇航局利用开普勒太空望远镜发现了一个新的双星系统，命名为“开普勒－47”，该系统位于天鹅座内，距离地球大约5000光年。这一新的系统有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T，其中一颗大恒星的质量为M，另一颗小恒星质量只有大恒星质量的三分之一。已知引力常量为G，则下列判断正确的是(C)A．两颗恒星的转动半径之比为1∶1B．两颗恒星的转动半径之比为1∶2C．两颗恒星相距3GMT23π2D．两颗恒星相距3GMT24π28．(多选)如图所示，地球球心为O，半径为R，表面的重力加速度为g。一宇宙飞船绕地球无动力飞行且做椭圆运动，恰好经过距地心2R的P点，为研究方便，假设地球不自转且表面没有空气，则(ac)A．飞船在P点的加速度一定是g4B．飞船经过P点的速度一定是gR2C．飞船内的物体处于完全失重状态D．飞船经过P点时，对准地心弹射出的物体一定沿PO直线落向地面