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第四章调节函数设计调节函数设计方法比反推设计的进步之处在于：调节函数法能够降低自适应控制器的阶次，将其降到最低即降到与未知参数个数相同。在调节函数方法的设计过程中，参数的更新率是递归设计的。每一步我们都要设计一个调节函数作为可能的参数更新率。与反推法不同，这些更新率不是立即应用，相控制器应用这些函数作为补偿。只有最后的调节函数被用作参数更新率。第四章构架：4.24.3讲授了设计过程，与4.1节独立。可以直接阅读。4.1自适应控制李雅普诺夫函数李雅普诺夫方法应用于自适应控制的一个基本想法是：设计一个控制率或者参数更新率来保证一个合理的李雅普诺夫函数的导数是非正定的。那么我们就需要寻找三个：李雅普诺夫函数，控制率和更新率。对于一类参数严格反馈系统。我们可以使得这个设计过程系统化。首先我们研究对下面系统的自适应设计。x=fx+Fxθ+gxu,x∈Rn,u∈R（4.1）这里θ∈Rp是未知常参数的向量f(x),F(x),g(x)都是光滑的，为了简便让f(0)=0,F(0)=0,所以x=0是一个平衡点。4.1.1背离确定性等价很多传统的自适应控制采用一种确定性等价的想法。根据这种想法，人们需要首先对于θ已知的情况进行设计。假设这种不平凡的任务可以完成，并且它的结果反馈控制u=αcx,θ能够使得对应于李雅普诺夫函数Vcx,θ平衡点x=0稳定.并且有：当θ未知时，确定性等价方法用估计值θt取代θ，同时得到一个参数更新率我们试图通过选择u和ζ来使得李雅普诺夫函数的导数非正定对于系统4.1和4.3，有一个候选的李雅普诺夫函数4.4是由确定性等价形式的李雅普诺夫函数Vc扩展而成的。其中θ=θ−θ（4.5）那么这个扩展李雅普诺夫函数的导数可以由计算得到：为了消掉方程中带有参数误差的项，可以选取更新率ζ使得最后两项变为0：将4.7带入4.6可以得到那么如果我们能够找到控制率u=αx,θ使得V非正定。但是显然我们可能无法找到这样一个控制率。因为由4.2和4.8可得显然，V不一定是非正定的，因为−Wx,θ上面添加了一个有未知符号的项。为了寻找更好的控制率αx,θ我们将该控制器增广。但是引入该公式后，任然存在可能找不到控制器的情况。所以从3.4节中的情况，我们可以引进一种新的方法，调节函数法（TuningFunctiondesign）.4.2设定点调节我们设计一个自适应控制器使得参数严格反馈系统在理想平衡点xe稳定。在这个过程中我们设计的过程是为了使得输出y=x1能够到达一个设定点ys.如果采用常控制器ue，那么前面的n-1个平衡方程xe=0可以很容易的解出。当θ已知时，由xne=0可以解出使得x1e在设定点的ue。现在我们的问题是当θ未知时，如何使得系统在设定点稳定。下面介绍设计过程。4.2.1设计过程我们从使4.84的第一个方程自适应稳定开始。以后每一步我们都添加一个方程到已经设计好的子系统。在设计过程中第三步是最重要的。步骤1：引入前两个误差变量：重新写出4.84第一个方程，即其中，定义回归向量：我们在这一步中的任务是使得4.89在下面这个李雅普诺夫函数下是稳定的：这个函数的导数是：我们可以从V1中用自适应率来消掉不确定的量θ。即用其中如果x2是我们真正的控制输入，那么就有z2≡0，这样我们就可以选择4.94以使得李雅普诺夫函数的导数：但是现在x2不是实际的输入，所以不存在z2≡0，现在我们不采用参数更新率，相反我们用4.93作为第一个调节函数。并且允许在李雅普诺夫函数中存在未知量θ。则第二个关联项在下一步中可以消掉。同时第一个误差方程就变为：步骤2：（基本上是在重复上面的过程）现在我们把x3看做4.84中第二个方程的控制变量，这样4.84中的第二个式子就可以改写为：同样，第二个回归向量定义为：在这一步中我们的任务就是使得4.96和4.98组成的系统在下面的李雅普诺夫函数下稳定：他的导数是：同样的按照上面的做法，我们定义调节函数：并且得到这样相应的李雅普诺夫函数的导数就成为：这样将第一步和第二步结合，我们可以得到：步骤3：引入变量并且重写公式：定义第三个返回向量：在这一不中我们的任务是使得含有三个偏差的方程在下面的李雅普诺夫函数下稳定：他的导数为：同样在这个过程中我们定义调节函数：进行同样的假设，可以得到与前面不同的是这个控制率中含有修正项v3：有下面的恒等式：将4.112带入4.110，可得这样偏差子系统可以写成：如果x4是实际的输入那么有z4≡0，这样就可以用更新率这样在4.115中最后一个向量的项就会变为0，但是仍然存在使得系统失衡的量这样就需要对修正项进行调节：现在我们仍然不对系统进行参数更新率设计，那么李雅普诺夫函数就变为这样偏差子系统变为如下形式：步骤i：引入重写公式：那么第i个返回函数为在这一步中，我们的任务是使得偏差系统稳定，其李雅普诺夫函数为：导数为：同样我们定义调节函数：同时可以求得，其中有等待确定的修正项。有以下恒等式：这样我们重写李雅普诺夫函数如下：这样偏差表达式是：修正项可以选择为：同样在这一部中我们不设计参数更新率，那么相应的李雅普诺夫函数如下：步骤n：这是最后一步，同样引入方程：重写方程：定义返回函数：这一部中，输入是可以控制的实际输入，所以我们终于能够进行参数更新率设计：选取李雅普诺夫函数如下：其导数为：为了消除导数中的未知项我们选取更新率如下：其中：选择控制率如下：其中有修正项。考虑4.140导数变为：有恒等式重写如下：修正项可以选择为：