直线的一般式方程(附答案)

直线的一般式方程[学习目标]1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是()A.3x＋4y＋7＝0B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0D.3x＋4y－42＝0(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A.3B.－5C.95D.－33答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C两项.又y＝－43x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B项正确.(2)令y＝0则x＝－33.跟踪训练1一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为xa＋yb＝1，∵点A(－2,2)在直线上，∴－2a＋2b＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a|·|b|＝1.②由①②可得a－b＝1，ab＝2，或a－b＝－1，ab＝－2.解得a＝2，b＝1，或a＝－1，b＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x2＋y1＝1或x－1＋y－2＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.题型二直线方程的应用例2已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解方法一l的方程可化为y＝－34x＋3，∴l的斜率为－34.(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－34.又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为43，又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.跟踪训练2a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.(1)平行；(2)垂直.解当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝－1＋a2，b1＝2；直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝1a，b2＝－1a.(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，得1a＝－1＋a2，a≠－12，解得a＝－1或a＝2.所以当a＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，即1a·－1＋a2＝－1，解得a＝13.所以当a＝13时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)答案m≠－3解析若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.解方程组m2＋5m＋6＝0，m2＋3m＝0，得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线.(2)解①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m2＋m－3m2－m＝1，所以m2－m≠0，2m2＋m－3＝－m2－m，解得m≠0且m≠1，m＝－1或m＝1.所以m＝－1.②因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝4m－12m2＋m－3，所以4m－12m2＋m－3＝1，所以2m2＋m－3≠0，4m－1＝2m2＋m－3，解得m≠1且m≠－32，m＝－12或m＝2.所以m＝－12或m＝2.跟踪训练3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明直线方程变形为y－35＝ax－15，它表示经过点A15，35，斜率为a的直线.∵点A15，35在第一象限，∴直线l必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a≥3.∴a的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－(2m－6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得－m2－2m－32m2＋m－1＝1，①2m2＋m－1≠0.②由①，得m＝－1或m＝43.当m＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m＝43时，②式成立，符合题意.故m＝43.1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠02.已知ab0，bc0，则直线ax＋by＝c通过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A.x－2y－1＝0B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0D.x＋2y－1＝04.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A.－1B.1C.12D.－125.已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.一、选择题1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是()A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为()A.－2B.2C.－3D.33.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()A.C＝0，B0B.A0，B0，C＝0C.AB0，C＝0D.AB0，C＝04.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于()A.－3B.3C.13D.－135.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点()A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是()A.a≠±1B.a≠1，a≠2C.a≠－1D.a≠±1，a≠27.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.2.答案C解析由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，∵ab0，∴直线的斜率k＝－ab0，直线在y轴上的截距cb0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案A解析由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.4.答案B解析由两直线垂直，得12×－2m＝－1，解得m＝1.5.答案－3或1解析两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以a3＝1a＋2≠－21，解得a＝－3或a＝1.课时精练答案一、选择题1.答案B解析直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案D解析由已知得m2－4≠0，且2m2－5m＋2m2－4＝1，解得：m＝3.3.答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案D解析由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－13.5.答案A解析由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3).所以直线必过点(3,2).6.答案A解析因为直线x＋ay＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x＋y＝0，x－y＝0两直线平行就能构成三角形.所以a≠±1.7.答案C解析将l1与l2的方程化为斜截式得：y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案35解析由两直线垂直的条件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝35.9.答案2解析线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2.10.答案(－∞，－12)∪(0，＋∞)解析当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－aa＋1，只要－aa＋11或者－aa＋10即可，解得－1a－12或者a－1或者a0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案2x＋3y＋4＝0解析由条件知2a1＋3b1＋4＝0，2a2＋3b2＋4＝0，易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.三、解答题12.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为0，当然相等，所以a＝2，方程即为3x＋y＝0.当a≠2时，截距存在且均不为0，所以a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1.所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以－a＋1＞0，a－2≤0或－a＋1＝0，a－2≤0，所以a≤－1.综上，a的取值范围是a≤－1.13.