二次根式知识点总结和习题教师用

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a·b（a≥0，b≥0）；bbaa（b≥0，a0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。；）（；）（；）（213122313xxxx解：（1）要使32x有意义，必须320x，由320x得x32，当x32时，式子32x在实数范围内有意义。（2）要使x13有意义，x1为任意实数均可，当x取任意实数时x13均有意义。（3）要使xx12有意义，必须xx1020xxxx1221且，但不在的范围内。当xx12且时，式子xx12在实数范围内有意义。小练习：（1）当x是多少时，31x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？②（3）当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？（4）当__________时，212xx有意义。2.使式子2(5)x有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数3．已知y=2x+2x+5，求xy的值．4．若3x+3x有意义，则2x=_______．5.若11mm有意义，则m的取值范围是。最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：（），（）（），19600224750325121003234abababcab分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解：（）·，196166460032abaabaabab001151212512125361072223572357225349501475047222422432babcabcbbacba，·）（）（同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：438532161531751；；）（分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解：（）；117525757是同类二次根式，，；438532161531757374749324343324385327431679166316153分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：；）；（）（2325223211分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如2与2，5353与均为有理化因式。解：（）（）112321232221462523252322322322151010求值：例5：计算：312115233231214181）（）（分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解：（1）原式（）322232333335630323232310323615623153223152·）原式（化简：例6：化简：babababa44241）（分析：应注意（1）式ab00，，（2）a0，所以aabb22，，ab4可看作ab224可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。解：（）原式122222ababababbababababa4221222例7：化简练习：233626201）（）（sst解：（）103stststtstttsttstt33200000，而，即原式·||（），而原式2263620630626362636263265化简求值：例8：已知：223223ba，求：abab33的值。分析：如果把a，b的值直接代入计算ab33，的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到3232与互为有理化因子可计算abab，·，然后将求值式子化为abab与·的形式。解：abab32322332232214，··abababbaababababab332222214321414312145258()将与·的值代入，得：··小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例9：在实数范围内因式分解：[来源:学*科*网Z*X*X*K]2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋2）（x－2）．．x4－2x2－3．【提示】先将x2看成整体，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋3）（x－3）．例10、综合应用：如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）【专项训练】：一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、aa112成立的条件是：A．a1B．a1C．a1D．a12、把227化成最简二次根式，结果为：A．233B．29C．69D．393、下列根式中，最简二次根式为：A．4xB．x24C．x4D．()x424、已知t1，化简1212ttt得：A．22tB．2tC．2D．05、下列各式中，正确的是：A．772B．07072..C．7722D．07072..6、下列命题中假命题是：BACQPA．设xxx02，则B．设xxx012，则C．设xxx02，则D．设xxx0222，则7、与23是同类根式的是：A．50B．32C．18D．758、下列各式中正确的是：A．235B．2323C．3434axxaxD．127390三、1、化简aaa32442、已知：xy123123，求：xxyy225【答案】：一、选择题：1、B2、C3、B4、D5、B6、C7、D8、D9、C10、B二、计算：三、122935、、、aaa拓展训练一、分式，平方根，绝对值；1.22)(aa成立的条件是_______________2．当a________时，12aa；当a________时，12aa。3．若aa2，则a__________；若aa2，则a__________。4．把111xx根号外的因式移入根号内，结果为________。5．把-33a根号外的因式移到根号内，结果为________。6．x＜y，那么化简2)(yxxy为________10.若a+b4b与3a＋b是同类二次根式，则a=____，b=_____。11.求使a12为实数的实数a的值为____。二、根式，绝对值的和为0；1.若22)32()5(ba=0，则2ab=__________。2.如果aabba22230求ba2的算术平方根。6.在ΔABC中，a，b，c为三角形的三边，则baccba2)(2=_______。7.已知的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy8.如果，则=_______。三、分式的有理化1、已知x=2+12－1,y=3－13+1，求x2－y2的值。5.已知2323,2323yx，求下列各式的值；①yxyxyx22322；②33yx；③;四、整数部分与小数部分1.的整数部分是_________，小数部分是________。4.已知321x，x的整数部分为a，小数部分为b，求abab2的值。五、根式，分式的倒数；1.已知x＋1x=4,求x－1x的值。3.若的值；六、转换完全平方公式；1.已知abab224250，求abba32的值3.已知x，y是实数，，若axy-3x=y，求a的值；5、已知0＜x＜1，化简：4)1(2xx－4)1(2xx6、化简：1、52522·；2、743；七、技巧性运算1.9814313212112、计算11313515712121……nn的结果是_________4、已知ab23，bc23，那么abcabbcac222的值是__________5、已知xyxy952925，那么xy的值是__________6、已知xyxy512，，求xxyy22的值