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必考部分第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合及其运算考纲展示►1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算．考点1集合的基本概念元素与集合(1)集合元素的特性：________、________、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作________；若b不属于集合A，记作________．(3)集合的表示方法：________、________、图示法．(4)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集．有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．确定性互异性a∈Ab∉A列举法描述法(5)常见数集及其符号表示：数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________N*或N＋ZQRN集合表示的两个误区：集合的代表元素；图示法．(1)已知集合A＝{y|y＝sinx}，B＝{x|y＝sinx}，则A∩B＝________.解析：集合A表示的是函数y＝sinx的值域，即A＝[－1,1]；集合B表示的是函数y＝sinx的定义域，即B＝R，所以A∩B＝[－1,1]．[－1,1](2)设全集U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为_____________．解析：图中阴影部分可用(∁UB)∩A表示，故(∁UB)∩A＝{x|1≤x2}．{x|1≤x2}解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．(1)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集的个数为________．解析：A∩B＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．4(2)[2015·北京卷改编]若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝_______________________.解析：在数轴上画出表示集合A，B的两个区间，观察可知A∩B＝{x|－3＜x＜2}．{x|－3＜x＜2}[典题1](1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9C[解析]∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.92B．98C．0D．0或98B[解析]当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.(3)[2017·甘肃白银期末]已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∩B＝B，则m＝()A．0或1B．0或3C．1或3D．0或1或3B[解析]∵A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，且A∩B＝B，∴m＝3或m＝m，但m≠1，解得m＝0或m＝3.当m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{1,0}，满足A∩B＝B；当m＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∩B＝B.综上，m＝0或3.故选B.[点石成金]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点2集合间的基本关系集合间的基本关系表示关系文字语言记法子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素__________或__________真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A__________或__________集合间的基本关系相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝BA⊆BB⊇AABBA关系表示文字语言记法空集是________集合的子集∅⊆A空集空集是________集合的真子集∅B且B≠∅拓展：集合子集的个数：若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1.任何任何非空集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合的子集的个数．(1)[2015·江苏卷]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.5(2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．解析：因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集，28－1个真子集，28－1个非空子集，28－2个非空真子集．2828－128－128－2[典题2](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4D[解析]由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为____________________．[解析]∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1m＋1，此时m2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.综上，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．(－∞，3][题点发散1]在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？解：若A⊆B，则m＋1≤－2，2m－1≥5，即m≤－3，m≥3.所以m的取值范围为∅.[题点发散2]若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求解？解：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B＝2，12，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．[点石成金]1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.1.[2017·广东河源东江中学月考]已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则能正确表示集合A，B关系的韦恩(Venn)图是()ABCDC解析：∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝x2，x∈R}＝[0，＋∞)，∴AB.故选C.2．[2017·广西南宁模拟]已知集合M＝{x|x2－2x－30}，N＝{x|xa}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．[3，＋∞)D．(3，＋∞)A解析：M＝{x|(x－3)(x＋1)0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．考点3集合的基本运算集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示：集合的并集集合的交集集合的补集符号表示________________若全集为U，则集合A的补集为________图形表示A∪BA∩B∁UA意义{x|________}{x|________}∁UA＝_____________(2)三种运算的常见性质：①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝________，A∩∅＝________.③A∪A＝________，A∪∅＝________.④A∩(∁UA)＝________，A∪(∁UA)＝________，∁U(∁UA)＝________.x∈A，或x∈Bx∈A，且x∈B{x|x∈U，且x∉A}A∅AA∅UA(1)[教材习题改编]满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为()A．1B．2C．3D．4C解析：22－1＝3，A中包含元素0,1，还有集合{2,3}真子集中的元素，{2,3}的真子集有22－1＝3个．(2)[教材习题改编]已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∪B＝A，则a的值可为__________________．解析：A∪B＝A⇒BA，若B＝∅，则a＝0；若1∈B⇒a＝1；若2∈B⇒a＝12.1或12或0集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算．(1)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.(2)(∁UA)∩(∁UB)＝__________，(∁UA)∪(∁UB)＝__________.∁U(A∪B)∁U(A∩B)解析：设x∈∁U(A∪B)，则x∉A∪B，得x∉A且x∉B，即x∈∁UA且x∈∁UB，即x∈(∁UA)∩(∁UB)，即∁U(A∪B)⊆(∁UA)∩(∁UB)；反之，当x∈(∁UA)∩(∁UB)时，得x∈∁UA且x∈∁UB，得x∉A且x∉B，则x∉A∪B，所以x∈∁U(A∪B)，即∁U(A∪B)⊇(∁UA)∩(∁UB)．根据集合相等的定义，得∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．同理可证另一结论．[考情聚焦]有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力．主要有以下几个命题角度：角度一离散型数集间的交、并、补运算[典题3][2017·湖南株洲模拟]设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log3)(x－1)，x∈A}，则集合(∁UA)∩(∁UB)＝()A．{0,4,5,2}B．{0,4,5}C．{2,4,5}D．{1,3,5}D[解析]由题意知B＝{0,2}，∴∁UA＝{0,1,3,5}，∁UB＝{1,3,4,5}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,5}．角度二连续型数集间的交、并、补运算[典题4][2017·东北三省四市一模]已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}D[解析]由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}，故选D.角度三根据集合的运算结果求参数[典题5](1)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．[解析]易知A＝{－2，－1}．由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．1或2①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则利用根与系数关系应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件，∴m＝1或2.(2)已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，