圆锥曲线精选中档题练习及答案

圆锥曲线精选中档题练习椭圆1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()(A)31(B)33(C)21(D)232．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k等于()(A)－1(B)1(C)5(D)53．椭圆131222yx的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()(A)43(B)23(C)22(D)434．设椭圆的两个焦点分别是F1、F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()(A)22(B)212(C)22(D)125．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线043yx有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()(A)23(B)62(C)72(D)246．已知椭圆中心在原点，一个焦点为)0,32(F，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．7．已知F1、F2为椭圆192522yx的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为______．8．曲线3x2＋ky2＝6表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______．9．如图，F1、F2分别为椭圆)0(12222babyax的左、右焦点，点P在椭圆上，若△POF2是正三角形，则椭圆的离心率为______．10．椭圆14922yx的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的一个动点，1PF·2PF＜0，则点P横坐标的取值范围是______．11．求曲线的方程：(1)求中心在原点，左焦点为),0,3(F且右顶点为D(2，0)的椭圆方程．(2)在平面直角坐标系中，B(－4，0)，C(4，0)，P为一个动点，且|PB|＋|PC|＝10，求动点P的轨迹方程．12．已知椭圆C的焦点分别为)0,22(1F和)0,22(2F，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．13．设F1、F2分别是椭圆1422yx的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值．1．D2．B3．A4．D5．C6．141622yx7．208．k＞39．1310．5353x11．解：(1)设椭圆方程为,12222byax3c，a＝2，∴b＝1，则椭圆方程为.1422yx(2)由题意，动点P的轨迹为椭圆，且2a＝10，c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，所以动点P的轨迹方程.192522yx12．解：设椭圆C的方程为,12222byax由题意a＝3，22c，于是b＝1．∴椭圆C的方程为.1922yx由19222yxxy得10x2＋36x＋27＝0，因为该二次方程的判别式＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则,518,2021636,20216362121xxxx故线段AB的中点坐标为).51,59(13．解法一：易知a＝2，b＝1，,3c所以)0,3(),0,3(21FF设P(x，y)，则),3(),3(·21yxyxPFPF),83(413)41(322222xxxyx因为x∈[－2，2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，1PF·2PF有最小值－2当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，1PF·2PF有最大值1．解法二：易知a＝2，b＝1，3c，所以)0,3(),0,3(21FF，设P(x，y)，则1PF·2PF＝|1PF|·|2PF|·cos∠F1PF2＝|1PF|·|2PF|·||||2||||||212212221PFPFFFPFPF＝3]12)3()3[(21222222yxyxyx(以下同解法一)．双曲线1．双曲线898222yx的渐近线方程是()(A)xy34(B)xy43(C)xy169(D)xy9162．双曲线)0,0(12222babxay的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()(A)2(B)3(C)2(D)233．设F1和F2为双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()(A)1(B)25(C)2(D)54．已知椭圆1532222nymx和双曲线1322222nymx有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()(A)yx215(B)xy215(C)yx43(D)xy435．设a＞1，则双曲线1)1(2222ayax的离心率e的取值范围是()(A))2,2((B))5,2((C)(2，5)(D))5,2(6．若双曲线的一个顶点坐标为(3，0)，焦距为10，则它的标准方程为______．7．若双曲线1422myx的渐近线方程为xy23，则双曲线的焦点坐标是______．8．双曲线116922yx的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______．9．已知双曲线)0,0(1:2222babyaxC，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是______．10.设圆过双曲线116922yx的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．11．已知双曲线C的中心是原点，右焦点为),0,3(F一条渐近线02:yxm，设斜率为k的直线l过点A(0，1)．(1)求双曲线C的方程；(2)若双曲线C与l无交点，求k的取值范围．12．已知直线x－y＋m＝0与双曲线12:22yxC交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．13．在正△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，设双曲线W是以B、C为焦点，且过D、E两点．(1)求双曲线W的离心率；(2)若|BC|＝2，建立适当的坐标系，给出双曲线W的标准方程．1．B2．C3．A4．D5．B6．116922yx7．)0,7(8．5169．b10．31611．解：(1)设双曲线的方程为)0,0(12222babyax，则22322abba，解得12ba，所以双曲线的方程为1222yx.(2)直线l：y＝kx＋1，由11222kxyyx，消去y得(1－2k2)x2－4kx－4＝0，因为直线l与C无交点，所以1－2k2≠0，且判别式＝16k2＋16(1－2k2)＜0，解得k＞1或k＜－1．12．解：设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由01222myxyx得x2－2mx－m2－2＝0(判别式＞0)，mxxx2210，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1．13．解：(1)如图，设|BC|＝m，则,23||,2||mBEmCE设双曲线W的长轴长为2a，焦距为2c，则,||2,213||||2mBCcmCEBEa所以离心率.131324132mmace(2)以BC的中点O为坐标原点，BC为x轴，向右为正方向，过O作BC的垂线为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．因为,1,13ce所以,23,213222acba故所求的双曲线方程为.12323222yx抛物线1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()(A)(－2，0)(B)(2，0)(C)(－4，0)(D)(4，0)2．设椭圆)0,0(12222nmnymx的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为()(A)1161222yx(B)1121622yx(C)1644822yx(D)1486422yx3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为()(A))22,2((B)(1，±2)(C)(1，2)(D))22,2(4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(1，1)的距离与P到该抛物线焦点的距离之和的最小值为()(A)2(B)3(C)2(D)235．过抛物线y2＝4x的焦点做一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条(C)有无穷多条(D)不存在6．抛物线x2＝4y的准线方程是______，焦点坐标是______．7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是______．8．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝______．9．抛物线y2＝4x上的一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标为______．10．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是______．11．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为4，求|AB|．12．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．13．已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：A，B两点的纵坐标之积为常数．14．设点)23,0(F，动圆P经过点F且和直线23y相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．(1)求曲线W的方程；(2)过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．1．A2．B3．B4．D5．B6．y＝－1(0，1)7．y2＝8x8．29．110．3411．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F，由抛物线定义，得,2||,2||21pxBFpxAF所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，又线段AB的中点横坐标为4，即x1＋x2＝8，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8＋2＝10．12．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由抛物线定义，得|AB|＝x1＋x2＋p，所以以AB为直径的圆的半径221pxxr又,2210xxx因为以AB为直径的圆的圆心为M，所以圆心M到抛物线的准线2px的距离为,221pxx则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．13．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即x1x2＋y1y2＝0，所以y1y2＝－x1x2，(y1y2)2＝(x1x2)2，又A，B在抛物线上，所以y12＝4x1，y22＝4x2，(y1y2)2＝16x1x2，则16x1x2＝(x1x2)2，即x1x2＝16，所以y1y2＝－16，即A，B两点的纵坐标之积为常数．14．解：(1)过点P作PN垂直直线23y于点N．依题意得|PF|＝|PN|，所以动点P的轨迹为是以F)23,0(为焦点，直线23y为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2＝6y．(2)依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为,23kxy由l1⊥l2得l2的方程为231xky将23kxy代入x2＝6y，化简得x2－6kx－9＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6k，x1x2＝－9．221221)()(||yyxxAB]4))[(1(212212xxxxk＝6(k2＋1)，同理可得)11(6||2kCD∴四边形ACBD的面积)11)(1(18||||2122kkCDABS,72)21(1822kk当且仅当221kk，即k＝±1时，Smin＝72．故四边形ACBD面积的最小值是72．