直线与圆综合复习讲义

高考总复习五-----直线与圆综合一、疑难知识点导析：1、定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是112121yyyxxx，当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是222121yyyxxx.2、3、确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(rbyax，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（FED422＞0），圆心坐标为（-2D，-2E），半径为r=2422FED.4、二、基本方法引导1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线：0CByAx；圆：022FEyDxyx.0022FEyDxyxCByAx消元一元二次方程acb42△判别式相离△相切△相交△000（2）方法二直线:0CByAx；圆：222)()(rbyax，圆心（a，b）到直线的距离为d=22||BACBbAa相交相切相离rdrdrd2、点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外（2）=，点在圆上（3），点在圆内3、两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；|r1-r2||O1O2|r1+r2两圆相交；|O1O2|=|r1-r2|两圆内切；0|O1O2||r1-r2|两圆内含.三、例题选讲直线相关（一）、斜率与含参线性规划问题；例1．若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围是（）ABCD解析：当目标函数的斜率非负时，需满足，解得；当目标函数的斜率为负时，需要满足解得.综上，练习、已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D内有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（）A.B.C.1D.4解析：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标画右上图（1）若，，只有一个点为最小值，不合题意；（2）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线AC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最小值，故；同时当目标函数与直线AB重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾，舍去.（3）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线BC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾，舍.综上可知，.（二）、对称的一般原理和特殊情况（）例1.求直线：关于直线l：对称的直线的方程.解析：联立直线和直线l解得交点E，E点也在上.方法一：在直线：上找一点A（2，0），设点A关于直线l：的对称点B的坐标为（x0，y0），解得B.,xy1122xyxyxy2zaxya(1,2)(4,2)(4,0](2,4)2zaxy2ak02k40a2zaxy2ak1k0aa(,)xyzxmym210mzx0mzxmy10m(,)xyzxmy113131mm(,)xyzxmy0mzxmy10m(,)xyzxmy1myxma240xy3410xyba(3,2)ba240xy3410xy0000203410220423xyyx48(,)55由两点式得直线b的方程为，即方法二：设直线b上的动点P关于：的对称点Q，则有解得Q（x0，y0）在直线：上，则，化简得.点评：方法二即著名的设而不求。练习1、曲线C：关于直线对称的曲线的方程________解析：如果关于对称的直线的斜率是，则可以直接用结论.以本题为例，点评：凡是关于对称的直线斜率为，直接代入即可.证明很简单，略.练习2、已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（）2.B.C.D.解析：由得到选C例2.已知点M，在直线：和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.解析：可求得点M关于的对称点M1，同样容易求得点M关于y轴的对称点M2.由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为令，得到M1M2与轴的交点Q解方程组得交点P故点P、Q即为所求.（三）直线系问题：过两交点的直线系；平行直线系；垂直直线系.设直线，，经过的交点的直线方程为(2)3842()355yx211160xy(,)xyl3410xy00(,)xy000034102243xxyyyyxx00724625247825xyxxyya240xy724624782402525xyxy211160xy2(2)yx30xyC'13303Cxyxyyx代入曲线得到2(5)(3)yx122(1)1xyyx22(1)1xy221xy22(1)1xy22(1)1xyyxyxxy代入22(1)1xy22(1)1xy(3,5)l220xyl(5,1)(3,5)270xy0xy7(0,)2270220xyxy5(,29)45(,29)47(0,)21111:0lAxByC2222:0lAxByC12,ll4321QM2M1MP1-2oyx（除去）；注意：可以推广到过曲线与的交点的方程为：。例2、求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.例2、已知圆C：及直线求证：无论为任何实数，直线恒与圆C相交。证明：由易证直线过定点M，且，即点M在圆C内，点M又在直线上，故不论为任何实数，直线与圆C相交。练习、求证:无论为何值,直线与点P的距离都小于42证明：将直线方程按参数整理得，易得直线恒过定点M，求得|PM|，所以.而过点M且垂直PM的直线方程为又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线圆相关（一）圆的方程例1、求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。解析：因圆心在直线上，故可设圆心为.又圆与轴相切，，此时可设圆方程为又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，弦心距，解得当时，，圆方程为111222()0AxByCAxByC2l1(,)0fxy2(,)0fxy12()()0fxfx210xy210xy21(21)0xyxy120xyxy12yx12112121135540xy20xy5540xy22(2)(3)4xy:(2)(21)78lmxmymml(2)(21)78(27)280mxmymmxyxyl(3,2)22(32)(23)24lml(2)(1)2(32)0xy(2,2)(4)260xyxy(2,2)4242d40xy40xy42dx30xyyx2730xy(,3)aaxra||3()()()xayaa22233yx27daaa||||322()()()273222aaa1a1333ar，()()xy13922当时，，圆方程为练习1、求经过两已知圆和的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。解析：设所求圆的方程为：即，圆心为C又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得练习2、已知△ABC的三个项点坐标分别是A，B，C，求△ABC外接圆的方程。解析：设圆的方程为将三点A，B，C分别代入圆的方程得到：解得所以，圆的方程是。例2.在平面直角坐标系中，已知圆和圆（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.解析：（1）直线的斜率肯定存在，设直线方程是，由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形算出斜率即可.或，故直线方程是（2）方法1：设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等。故圆心到直线的距离与直线的距离相等。a1333ar，()()xy13922Cxyxy122420：222240Cxyy：l2410xyxyxyxyy222242240()()()()114214022xyxy21()11，l2214111013xyxy22310(4,1)(6,3)(3,0)220xyDxEyF(4,1)(6,3)(3,0)22222241406(3)630(3)0300DEFDEFDEF2615DEF2226150xyxyxoy122:(3)(1)4Cxy222:(4)(5)4.Cxyl(4,0)A1C23l1l2l1C2C1l1C2l2C0(4)ykx21(34)101kdkk724k0y或7(4)24yx(,)mn1l2l1(),()ynkxmynxmk110,0kxynkmxynmkk1l1C2l2C1C1l2C2l即：，即或化简得：或关于的方程有无穷多解当且仅当或解之得：点P坐标为或。方法2：点P在C1C2中垂线上，且与圆C1、圆C2构成等腰直角三角形，设P点坐标为计算可得点P为或练习、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（2）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标解析：（I）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得22241531541111nmknkmnkmkkkkkk3154knkmnkmk31(54)knkmnkmk(2)3mnkmn(8)5mnkmnk2030mnmn8050mnmn313(,)2251(,)22(,)xy222222(3)(1)(4)(5)47351114(3)2xyxyyx313(,)2251(,)22(,0)2p2px0pCCOOAOB,(0)AB奎屯王新敞新疆M(,0)2pFM2px