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常见二项式定理题型总结一、二项式展开式中某一项的求解方法：1.特定项：使用展开式通项例1：已知的展开式中所有项的系数和为.(1)求的展开式中二项式系数最大的项;(2)求的展开式中的常数项.解析：(1)由题意,令得,即,∴展开式中二项式系数最大的项是第项,即.(2)展开式的第项为,由得.由得.∴展开式中的常数项为.例2：已知的展开式的各项系数和比二项式系数和大.(1)求的值;(2)求展开式中所有有理项.解析：(1)由题意,二项式的展开式的各项系数和比二项式系数和大,可得,解得.(2)展开式的通项为,当时是整数,故展开式中所有有理项为:,,.例3：写出的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项;解析：(1)二项式系数最大的项为中间两项:(2)展开式的通项为因为项的系数的绝对值为，所以项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，·(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为，项的系数最小的项为.例4：(1)求的展开式中的系数;(2)求的展开式中的系数.解析：(1)的展开式的通项是,令,解得.则含的项为第项,即;∴的系数为.(2)∵的通项为,的通项为,其中,,令,则有,;,;,.∴的系数为.二、展开式特定项求法：组合法（原理法）例1.已知的展开式中各项系数的和为，则展开式中的系数为．（用数字作答）解析：由题意得，令，则，解得，即展开式的通项为，令，则，又二项式的展开式中项为，所以展开式中的系数为.法二：由题意得，令，则，解得，此时(2x2+𝑥−𝑦)𝑛=(2x2+𝑥−𝑦)5,可以利用2个2x2,1个x，2个−y,进行组合，即𝐶52(2𝑥2)2∙𝐶31𝑥∙𝐶22(−y)2=120𝑥5𝑦2.例2：将多项式分解因式得,为常数,若,则解析：因为通项公式为,,∴,又,∴,∴,.例3.的展开式中常数项是．解析：原二项式可化为，由于二项式的展开式，令，则当时，，此时对应的项是，所以常数项的系数为.法二：分两类：第1类：1个x2,2个−1𝑥,1个3；第2类：4个3；所以由加法原理得：常数项为：𝐶1∙𝐶32(−)2+.三、多项式系数的和：赋值法例1：已知，求：(1)；(2)；(3).解析：(1)当时，，展开式右边为，∴.当时，，∴.(2)令，，①令，，②由①－②，得，∴.（3）根据（2）中式子①＋②得，.例2：若，则解析：令可得：，令，可得：，据此可得：.例3：设,则解析：令,得到,再令,得到,∴.例4：设，则代数式的值为解析：设，令，例5.设二项展开式,则.解析：二项展开式,两边对求导可得.令,可得.由二项展开式,令,可得.∴.例6.，则解析：将所给的等式两侧求导可得：，令可得：，令可得：，据此可得：四、多项式系数的和：组合数的性质法例1：已知,,且.求(1)展开式中各项的二项式系数之和.(2).(3).解析：设,则,相加得,即,∴.(1)展开式中各项的二项式系数之和为.(2)令,得①,令,得②,相加得(或).(3)令,得.例2：如果,求的展开式中系数最大的项.解析：由可得:,∴.即,∴.∴展开式中系数最大的项为....例3：的展开式中的系数为.(用数字作答).解析：因,故只要求中的的系数即可.因,故,则的系数是。五、二项式定理的应用例1：设,则除以的余数为解析：,,当为奇数时,余数为,当为偶数时,余数为,例2：已知数列的通项公式为,则的最简表达式为解析：由题意可得:例3：设，则等于解析：，当时，可得：.例4.求.0210的近似值（保留到0.0001）解析：.0210(+0.02)10𝐶100+𝐶1010.02+𝐶1020.022+𝐶1030.023+…=1+0.2+0.018+0.00096+…≈1.2190