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专题一集合与常用逻辑用语、函数与导数知识网络构建专题一│知识网络构建专题一│知识网络构建考情分析预测专题一│考情分析预测考向预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是集合的基本运算、充要条件的判断、函数的基本性质及其应用、函数的零点、导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是用选择题或者填空题考查集合、常用逻辑用语、函数和导数的基础知识和方法，用解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，其中集合和常用逻辑用语的试题难度不大，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除量词和定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：专题一│考情分析预测(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题．(2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定．(3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．专题一│考情分析预测备考策略(1)集合：集合的基本内容是概念、基本关系和运算，高考考查的重点是集合的运算，其中要特别注意区分集合的含义，即集合表达的究竟是什么，注意数形结合在集合问题中的应用．(2)常用逻辑用语：该部分的基本内容是四种命题及其关系、充要条件、逻辑联结词和量词，只要把其中的基础知识掌握即可．(3)基本初等函数和函数的应用：在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合应用、函数性质在判断函数零点中的应用，指数函数、对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用．(4)导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．专题一│考情分析预测专题一│考情分析预测第1讲集合与常用逻辑用语第1讲集合与常用逻辑用语主干知识整合第1讲│主干知识整合1．集合(1)元素的特征：确定性、互异性、无序性，元素与集合之间的关系是属于和不属于；(2)集合与集合之间的关系：集合与集合之间是包含关系和非包含关系，其中关于包含有包含和真包含，用符号⊆，表示．其中一个集合本身是其子集的子集，空集是任何非空集合的真子集；(3)集合的运算：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．第1讲│主干知识整合2．四种命题及其关系(1)四种命题；(2)四种命题之间的关系：四种命题是指对“若p，则q”形式的命题而言的，把这个命题作为原命题，则其逆命题是“若q，则p”，否命题是“若綈p，则綈q”，逆否命题是“若綈q，则綈p”，其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系是相互的．第1讲│主干知识整合3．充要条件(1)充要条件：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件；(2)充要条件与集合：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.第1讲│主干知识整合4．逻辑联结词(1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；(2)带有逻辑联结词的命题真假：命题p∨q，只要p，q有一为真，即为真命题，换言之，只有p，q均为假命题时才为假；命题p∧q，只有p，q均为真命题时才为真，换言之，只要p，q有一为假，即为假命题；綈p和p为一真一假两个互为对立的命题；(3)“或”命题和“且”命题的否定：命题p∨q的否定是綈p∧綈q；命题p∧q的否定是綈p∨綈q.第1讲│主干知识整合5．量词(1)全称量词与存在量词；(2)全称命题和特称命题；(3)含有一个量词的命题的否定：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．要点热点探究第1讲│要点热点探究►探究点一集合的关系及其运算例1[陕西卷]设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]C【解析】对于M，由二倍角公式得y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，故0≤y≤1.对于N，因为x－1i＝x＋i，由x－1i2，得x2＋12，所以－1x1，故M∩N＝[0,1)，故答案为C.第1讲│要点热点探究【点评】本题需要注意两个问题，一是两个集合的含义，二是要注意集合N中的不等式是一个复数模的实数不等式，不要根据实数的绝对值求解．高考考查集合一般是以集合的形式与表示等式的解、函数的定义域、函数的值域等，在解题时要特别注意集合的含义．第1讲│要点热点探究若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－y≥0，x2＋y2≤4，x，y∈M}，则N中元素的个数为()A．9B．6C．4D．2C【解析】由题意知（0,0），（1,0），（1,1），（2,0）符合，选C.第1讲│要点热点探究►探究点二四种命题和充要条件的判断例2(1)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c23C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3(2)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第1讲│要点热点探究(1)A(2)B【解析】(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选择A.(2)由判定充要条件方法之一——定义法知，由“y＝f(x)是奇函数”可以推出“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”，反过来，逆推不成立，所以选B.【点评】一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于；进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．第1讲│要点热点探究►探究点三逻辑联结词、量词和命题的否定例3(1)[·北京卷]若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题(2)[安徽卷]命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数第1讲│要点热点探究(1)D(2)D【解析】(1)p是真命题，则綈p是假命题；q是假命题，则綈q是真命题，故应选D.(2)本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.【点评】(1)“或”“且”联结两个命题，这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”命题的真假，其中“或”命题是一真即真，“且”命题是一假即假，“非”是对一个命题的否定，命题与其“非”命题一真一假；(2)否定一个命题就是否定这个命题的结论，即推翻这个命题，这与写出一个命题的否命题是不同的．一个命题的否命题，是否定条件和结论后的形式上的命题，如本题中我们把命题改写为“已知n为任意整数，若n能被2整除，则n是偶数”，其否命题是“已知n为任意整数，若n不能被2整除，则n不是偶数”，显然这个命题是真命题，但这个命题的否定是假命题．第1讲│要点热点探究有四个关于不等式的命题：p1：∃x0∈R，x20＋x0＋10；p2：∃x0，y0∈R，x20＋y0－4x0－2y0＋60；p3：∀x，y∈R＋，2xyx＋y≤x＋y2；p4：∀x，y∈R，x3＋y3≥x2y＋xy2.其中真命题是()A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p3第1讲│要点热点探究C【解析】x2＋x＋1＝x＋122＋340，命题p1正确；x2＋y2－4x－2y＋6＝(x－2)2＋(y－1)2＋10，命题p2不正确；2xyx＋y≤2xy2xy＝xy≤x＋y2，命题p3正确；x3＋y3－x2y－xy2＝(x＋y)(x－y)2，当x＋y0时，不等式不成立，故命题p4不正确．故正确选项为C.第1讲│要点热点探究►创新链接1集合中的新定义问题以集合为背景的新定义问题，历来是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．求解集合中的新定义问题，主要抓两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．第1讲│要点热点探究例4[·广东卷]设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是()A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的第1讲│要点热点探究【解析】AT全部是偶数，V全部是奇数，那么T，V对乘法是封闭的，但如果T是全部偶数和1,3，那么此时T，V都符合题目要求，但是在V里面，任意取的数是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面没有3，所以V对乘法不封闭．排除B、C、D选项，所以“至少一个”是对的．【分析】根据新定义，就是要判断“∀a，b∈T，有ab∈T”，“∀x，y∈V，有xy∈V”这两个全称命题的真假．【点评】集合的创新问题，通常需要弄清题目给出的新定义、新概念、新法则与教材上的知识间的联系，将新的定义、概念、法则转化为“常规数学”问题，然后求解．第1讲│要点热点探究(1)[福建卷]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4(2)设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()A．(