二次函数与实际问题

1实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），根据题意，得：xxxxy18)18(2；又∵180,0180＜x＜x＞x＞（2）∵xxxxy18)18(2中，a=-1＜0，∴y有最大值，即当9)1(2182abx时，81)1(41804422maxabacy故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。2、只围三边的矩形的面积最值例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（250x）（米），根据题意，得：xxxxy2521)250(2；又∵500,02500＜x＜＞xx＞∵xxxxy2521)250(2中，a=21＜0，∴y有最大值，即当25)21(2252abx时，2625)21(42504422maxabacy故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。3、围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm2由题意得：17)420()4(22xx解得：4,1621xx当161x时，20-x=4；当42x时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为)5(4420xxcm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：25102)5(222xxxxy，∵25102)5(222xxxxy中，a=2＞0，∴y有最小值，即当2522102abx时，225241025244422minabacy=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.答（1）y=2x2-2ax+a2(2)有.当点E是AB的中点时，面积最大.二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题1如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是212yx=-..练习1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线3形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是4522xxy.请回答下列问题：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？答（1）45（2）49（3）252．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?答（1）①21425yx；②10；（2）①14.5；②47．三、利用抛物线解决最大利润问题例题1某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)（3分）答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为；（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元答(1）y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.2，一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每4千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y2x80.设这种产品每天的销售利润为w元.（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？答（1）2w2x120x1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元3．某公司营销,AB两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系2yaxbx.当1x时，1.4y；当3x时，3.6y．信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系0.3yx．根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；(2)该公司准备购进,AB两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售,AB两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？答二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，∵-0.1＜0，∴当m=6时，W有最大值6.6，∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：10500yx．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？答（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？答（1）（220－10x）；（2）2103202200wxx（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每5周的销售利润最大是320元．6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为ykxb，将（3000，100），（3200，96）代入得3000kb1003200kb96，解得：1k50b160。∴1yx16050。将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。∴y与x间的函数关系是1yx16050。（2）填表如下：（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：2W150x160x150x3000150x163x24000x3000（）（）22150x162x21000150x405030705当x=4050时，Wmax=307050，∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元四，二次函数与几何图形类型1二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2017·襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？租出的车辆数1x16050未租出的车辆数1x6050租出每辆车的月收益x150所有未租出的车辆每月的维护费x30006(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)过点E作EG⊥x轴于G点。抛物线的解析式为y=13(x−2)2+23；(2)：t=1或t=52时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；(3)存在，四边形MDEN是平行四边形时,M1(2,1),N1(4,2)；四边形MNDE是平行四边形时,M2(2,3),N2(0,2)；四边形NDME是平行四边形时,M3(2,13),N3(2,23).类型2二次函数与平行四边形的存在性问题2．(2018·曲靖)如图，抛物