选修系列极坐标与参数方程课件

第三节坐标系与参数方程第三节坐标系与参数方程考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．极坐标系的概念一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为______，射线Ox称为_____．极点极轴设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的_____，θ称为点M的_____．有序数对(ρ，θ)称为点M的________．2．极坐标和直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x＝_______，y＝_______.又可得到关系式：ρ2＝_______，tanθ＝____(x≠0)．极径极角极坐标ρcosθρsinθx2＋y2yx3．常见曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程过点M(ρ0，θ0)且倾斜角为α的直线l的极坐标方程为_______________________．(2)圆的极坐标方程圆心的坐标为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为_______________________________.4．几种常见曲线的参数方程ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0(1)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为θ的直线的参数方程是其中t是参数，|t|表示直线上的动点P(x，y)与点P0(x0，y0)之间的距离．t表示有向线段P0P的数量．(2)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中θ是参数．当圆心在(0,0)时，方程为x＝x0＋tcosθ，________________.y＝y0＋tsinθx＝a＋rcosθ，_____________.y＝b＋rsinθx＝rcosθ，y＝rsinθ.(3)椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：①椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是x＝acosθ，___________.其中θ是参数．②椭圆x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)的参数方程是x＝bcosθ，___________.其中θ是参数．y＝bsinθy＝asinθ课前热身1．(2010年高考广东卷改编)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标．解：∵ρ＝2sinθ，∴x2＋y2＝2y，∵ρcosθ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为(2，3π4)．2．(2009年高考江苏卷)已知曲线C的参数方程为x＝t－1ty＝3t＋1t，(t为参数，t＞0)．求曲线C的普通方程．解：因为x2＝t＋1t－2，所以x2＋2＝t＋1t＝y3，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.3．(2011年苏北四市调研)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．π3x＝2cosαy＝1＋cos2α解：因为直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l的普通方程为y＝3x，又因为曲线C的参数方程为x＝2cosαy＝1＋cos2α(α为参数)，所以曲线C的直线坐标方程为y＝12x2(x∈[－2,2])，联立解方程组得x＝0，y＝0，或x＝23，y＝6.根据x的范围应舍去x＝23，y＝6，故P点的直角坐标为(0,0)．考点探究·挑战高考极坐极系与直角坐标系的互化考点突破1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．极坐标和直角坐标互化关系式x＝ρcosθy＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0是解决该类问题的关键．3．若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．例1在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－)上的动点，试求PQ的最大值．【思路分析】π6【解】ρ＝12sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝12y，即x2＋(y－6)2＝62.ρ＝12cos(θ－π6)＝12cosθcosπ6＋12sinθsinπ6＝63cosθ＋6sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－63x－6y＝0，即(x－33)2＋(y－3)2＝62，两圆圆心距为33－02＋3－62＝36＝6，两圆半径均为6，所以PQ的最大值为6＋2×6＝18.【名师点评】圆的极坐标方程，简单类型有ρ＝r，ρ＝2rcosθ，ρ＝2rsinθ.一般形式有ρ＝asin(θ±α)和ρ＝acos(θ±α)．解这类问题，可以将圆的极坐标方程化为直角坐标方程．变式训练1已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ(a是非零常数)．(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为，求a的值．解：(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ.所以⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x.即(x－1)2＋y2＝1.由ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ.所以⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，即x2＋(y－a)2＝a2.(2)⊙O1与⊙O2的圆心距为＝，解得a＝±2.512＋a25参数方程与普通方程的互化1．化参数方程为普通方程消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消去法；②加减消去法；③乘除消去法；④三角恒等式消去法．2．化普通方程为参数方程只要适当选取参数t，确定x＝φ(t)，再代入普通方程，求得y＝φ(t)，即可化为参数方程x＝φt，y＝φt.例2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋2ty＝1－t，(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝2cosθy＝sinθ.(θ为参数)，试在椭圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．【思路分析】直线化为普通方程，点P(2cosθ，sinθ)到直线的距离求最值．【解】法一：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0.设P(2cosθ，sinθ)，点P到直线l的距离为d＝|2cosθ＋2sinθ－4|5＝154－22sinθ＋π4.所以当sinθ＋π4＝1时，d有最小值，此时sinθ＝sinθ＋π4－π4＝sinθ＋π4cosπ4－cosθ＋π4sinπ4＝22，cosθ＝cosθ＋π4－π4＝cosθ＋π4cosπ4＋sinθ＋π4sinπ4＝22.所以点P的坐标为2，22.从而椭圆C上到直线l的距离最小的点P的坐标为2，22.法二：设与直线l平行的直线l′的方程为x＋2y＝m.当l′与C只有一个公共点且l′与l距离最小时，l′与C的公共点即为所求的点P.椭圆的普通方程为x24＋y2＝1.由x24＋y2＝1，x＋2y＝m，消去x，得8y2－4my＋m2－4＝0.因为l′与C只有一个公共点，所以Δ＝16m2－32(m2－4)＝0.解得m＝22或－22.l′与l的距离为d＝|m－4|5.所以当m＝22时，d最小，此时点P坐标为2，22.【名师点评】法一借助了三角函数的知识，较为方便，这也是参数方程的一个优点，其实质是减少了变量的个数，最终归结到某一个变量来研究．变式训练2已知曲线C的方程为y2＝3x2－2x3，设y＝tx，t为参数，求曲线C的参数方程．解：将y＝tx代入y2＝3x2－2x3，得t2x2＝3x2－2x3，即2x3＝(3－t2)x2.当x＝0时，y＝0；当x≠0时，x＝3－t22.从而y＝3t－t32.∵原点(0,0)也满足x＝3－t22y＝3t－t32，∴曲线C的参数方程为x＝3－t22y＝3t－t32(t为参数)．极坐标、参数方程的综合应用利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决有关问题．例3(2011年盐城市高三调研)已知直线l的参数方程x＝ty＝1＋2t(t为参数)和圆C的极坐标方程ρ＝22sin(θ＋π4)．(1)将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系．【思路分析】写出直线和圆的普通方程，再判断位置关系．【解】(1)消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x＋1.ρ＝22sin(θ＋π4)，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)．得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)圆心C到直线l的距离d＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l和⊙C相交．【名师点评】普通方程是我们所熟悉的知识，而且多数知识是利用普通方程来描述数量关系的，因而首先转化为普通方程再解题是常见的解题思路．方法感悟方法技巧1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是点M的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以极点为圆心，半径为1的圆．4．同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线．5．任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x＝f(t)，y＝g(t)，借助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围．6．直线还有其他形式的参数方程，但只有x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα中的参数才具有特定的意义，因此若直线的参数方程是x＝x0＋aty＝y0＋bt(t是参数，a2＋b2≠1)，则要通过换元(b≥0时，令t′＝a2＋b2t；b0时，令t′＝－a2＋b2t)将方程化为上述标准方程后再应用上述结论，否则会导致错误．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年江苏高考来看，本部分内容重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012江苏高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．规范解答例(本题满分10分)(2010年高考江苏卷)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的