二次根式讲义

XY2020.7.81第十六章二次根式(7.8)一、基础知识点知识点一：二次根式基本概念形如）（0aa的式子叫做二次根式知识点二：二次根式的性质（1））（）（0aaa2（2）aa2例1：判断1-x2-x-2是否为二次根式？例2：确定条件使下列式子有意义？（1）3-x2x例3：在实数范围内因式分解（1）5-x2（2）9x6-x24例4：已知3x1，化简9x6-x1x2-x22例5：已知m2008-mm-20072）（，求22007-m的值知识点三：二次根式的乘法法则两个二次根式相乘，把被开方数相乘而根指数不变即：abba），（0b0a知识点四：二次根式的除法法则两个二次根式相除，把被开方数相除而根指数不变即：0)b0ababa，（XY2020.7.82例1：混合运算（1）521312321（2））（ab21ba3baab22知识点五：最简二次根式满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或者因式；（2）被开方数不含分母知识点六：有理化因式和分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式就叫做互为有理化因式，同时我们把划去分母中根号的变形叫做分母有理化。例1：223bab2-aba5划为最简二次根式。（a0,b0）知识点七：二次根式的加减运算同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。二次根式的加减运算：二次根式加减，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并。例1：下列各式中哪些是同类二次根式32512427135012751），（），（），（），（）（例2：计算（1）xxxx1246932（2）)12(41abbaba例3：已知x，y为正整数，且32yx，求x，y的值XY2020.7.83知识点八：二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。例1：计算)0,0(3a33baabababb）（例2：计算)532)(532(例3：计算（1）abaabaa（2）yxxyyxyxyx2二、知识性专题专题一：二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解。例1：当x取何值时，的值最小？最小值是多少？分析：由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3。【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即）（0a0a。专题二：二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用aa2这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论。例2：下列计算正确的是（）例3：计算的结果是（）XY2020.7.84例4：已知【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义。例5：化简例6：已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简222)()(abacca。例7：化简4412xxx规律方法：对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”。例8：已知的值求ababababba,12,3XY2020.7.85专题三：利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9：估计202132的运算结果应在（）A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间例10：已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，求（m-n）/(m+n)的值。三、规律方法专题专题四：配方法【专题解读】把被开方数配方，进而应用aa2化简。例11：化简例12：若a，b为实数，且b=，试求的值。专题五：换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题。例13：计算535-3专题六：代入法【专题解读】通过代入求代数式的值。例14：已知专题七：约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简。XY2020.7.86例15：化简例16：化简四、思想方法专题专题八：类比思想【专题解读】类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式。【解题策略】对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式。专题九：转化思想【专题解读】当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决。例17：如图所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为3，则输出的数值为专题十：分类讨论思想例18：若化简16812xxx的结果为2x-5，则x的取值范围是（）A.x为任意实数C.x≥1B.1≤x≤4D.x≤4例19：如图所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？