交错级数及其审敛法

一、交错级数及其审敛法111(1)(1)nnnnnnuu或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:1(1)(1,2,3,);(2)lim0nnnnuunu(0)nu其中定义:如果在任意项级数中，正负号相间出现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一般形式为：1nnu§9.3任意项级数111(1)Snnnuu则级数收敛，且其和例1判定级数的敛散性.111(1)nnn解这是一个交错级数,且1111(1),,1nnnuuunnn且1(2)limlim0,nnnun由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.例2判定级数的敛散性.11(1)2nnnn解这也是一个交错级数,且111(1),,22nnnnnnuu则(2)limlim0,2nnnnnu由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.111110,(1,2,3,),222nnnnnnnnuun如何比较大小？为什么？二、绝对收敛与条件收敛1、定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定义：对于级数，若收敛，则称级数绝对收敛；如果发散，但本身收敛，则称级数条件收敛．1nnu1nnu1nnu1nnu绝对收敛、条件收敛与收敛之间有着什么样的关系呢？证明1()(1,2,),2nnnvuun令1,nnv收敛11(2),nnnnnuvu又111nnnnnnuuu若收敛，则绝对收敛.级数收敛,若发散，则条件收敛.结论：0,nv显然nnvu且，1nnu收敛.11, .nnnnuu若收敛则定2收敛理例3判别级数21sinnnn的收敛性.解22sin1,nnn211,nn而收敛21sin,nnn收敛故由定理知原级数绝对收敛.为什么？例4判定级数的敛散性.1(1)(0)nnnxxn解1limnnnuu1(1)01nnxu时，收敛，即绝对收敛，从而收敛.(1),nnxun记则lim1nxnxn由达朗贝尔比值判别法知，11(2)1(1)nnxn时，级数为,易见级数是条件收敛；1(3)1(1)nnnxxn时，级数为,级数是发散的；NOTE：当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法，判断出正项级数发散，1nnu可以断言，也一定发散.1nnu1lim1,(lim1),nnnnnnuuu事实上，limlimnnnnuu0,从而0,1nnu必发散.三、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;n若S→S,则级数收敛;1lim0,.nnnnuu若则级数发散