直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳

直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳知识点精讲：1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.2．判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13）表8-13文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,aballblabP面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直babba平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直aa//平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直baba//3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-14）表8-14文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行babaa////文字语言图形语言符号语言_b_a_b_a_b_a_a垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行//aa线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直,lala二、斜线在平面内的射影1.斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.2.射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00的角，故直线与平面所成的角的范围是0,2.如图8-122所示，PA是平面的斜线，A为斜足；PO是平面的垂线，O为垂足；AO是PA在平面的射影，PAO的大小即为直线PA与平面所成的角的大小.三、平面与平面垂直1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角，二面角的范围是0,.平面角是直角的二面角叫做直二面角._a2.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若CD，CD，且AB，BE，ABBE，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直bb4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直babba题型归纳及思路提示题型115证明空间中直线、平面的垂直关系思路提示_b_a_b线线判定定理性质定理线面判定定理性质定理面面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（,abab）；⑦平行线垂直直线的传递性（,aca∥bbc）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（,,,,abaccbbcPa）；③面面垂直的性质（,,,babaa）；平行线垂直平面的传递性（,ab∥ab）；⑤面面垂直的性质（,,ll）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（,aa）.空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.题型讲解题型一、线线垂直证明线线垂直常用线面垂直的性质（线面垂直线线垂直）.例8.33设,ab是两条直线，,是两个平面，则ab的一个充分条件是（）A．,ab∥，B．,ab，∥C．,ab，∥D．,ab∥，性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面图8-125解析：举例排除法如图8-126所示，以正方体1111ABCDABCD为模型，构造相应的直线和平面，利用排除法，选C.评注：此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行判断.变式1：在正四棱锥PABCD中，32PAAB，M是BC中点，G是PAD的重心，则在平面PAD中经过点G且与直线PM垂直的直线有多少条？变式2：已知,是两个不同的平面，,mn是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①mn；②；③n；④m.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.变式3：在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点F是棱1CC的中点，点P是正方体表面上的一点，若1DPAF，则线段1DP的长度的取值范围是_______________.例8.34如图8-127所示，在直棱柱1111ABCDABCD中，ACBD，垂足为E.求证：1BDAC.分析：线面垂直的判定及性质进行转化.解析：在直棱柱1111ABCDABCD中，因为1AA底面ABCD，所以1AABD，又ACBD，1ACAAA，1AA，AC平面1ACA内，所以BD平面1ACA，又1CA平面1ACA内，故1BDAC.评注：证明线线垂直的方法很多，除了平面几何（等腰三角形底边上的中线是高，勾股定理逆定理，菱形对角线互相垂直等）中的，空间几何中的方法是线垂直于面的定义，三垂线定理及其逆定理，空间向量等，究竟选用哪个，如果是平面垂直考虑前者，如果是异面垂直考虑后者，对于由线面垂直推导线线垂直，如何确定线与面，这要求根据图形结构及条件选择一直线垂直于经过另一直线的平面.变式1：如图8-128所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，点E是SD上异于D点的任意一点，求证：ACBE.变式2：如图8-129所示，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，12ACAB，N为AB上一点，4ABAN，,MS分别为PB和BC的中点.求证：CMSN.变式3：如图8-130所示，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，0120AOB，且1OAOBOC，点P为AC的中点.求证：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算ABAQ的值.例8.35如图8-131所示,在长方形ABCD中，2,1ABBC，E为CD的中点，F为线段EC上（端点除外）一动点.现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABCF，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足.设AKt，则t的取值范围是__________.分析：对这类动态问题要深入地抓住其中的定性，掌握变中不变的因素是解题的关键.就本题而言，在矩形ABCD中，引DKAF于M交AB于K，在折起的过程中，,DMMK始终保持与AF垂直的关系，即D在平面ABC内的射影D始终保持着与M、K共线，所以我们可以把空间问题转化为平面问题，即在点F的位置确定后，K的位置将固定不动，t值也不会因折起而变化，因此在平面图形中，利用相似建立t的表达式，求其取值范围.解析：如图8-132（a）所示，过K作KMAF于点M，连接DM，易得DMAF，与折前的图形相比，可知折前的图形中，,,DMK三点共线，且DKAF（如图8-132（b）所示）,于是DAK∽FDA，所以AKADADDF，即11tDF，所以1tDF，又(1,2)DF，故1(,1)2t.评注：本题的解法为借助平面解决空间问题的典范，抓住面面垂直、线面垂直等空间问题的核心内容是解答各种立体几何问题的基本思路.立体几何问题的基本思路.变式1如图8-133所示，正四面体ABCD中，棱长为4，M是BC的中点，P在线段AM上运动（P不与,AM重合），过点P作直线l平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：①BC平面AMD；②点Q一定在直线DM上；③42CAMDV，其中正确的是（）..A①②.B①③.C②③.D①②③例8.36如图8-134所示，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11AABB.求证：ABBC.分析通过线面垂直，证明线线垂直.解析如图8-135所示，过点A在平面11AABB内作1ADAB于点D，连接CD，则由平面1ABC侧面11AABB，则平面1ABC侧面11AABB1AB，得AD平面1ABC，又1BCABC，所以ADBC.因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，故1AAABC底面，所以1AABC，又1AAADA，从而11BCAABB侧面，又11ABAABB侧面，故ABBC.评注垂面里面作垂线，有效地将面面垂直转化为线面垂直.变式1如图8-136所示，在三棱锥PABC中，ACBC，PAPB.求证：PCAB.二、线面垂直垂直关系中线面垂直是重点.线垂面哪里找①垂直两条相交线；②垂直里面作垂线；③直（正）棱柱的侧棱是垂线；④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.线垂面有何用①垂直面里所有线（证线线垂直）；②过垂线作垂面（证面面垂直）.证明线面垂直常用两种方法.方法一：线面垂直的判定.线线垂直线面垂直，符号表示为：ab，ac，b，c，bcP，那么a.方法二：面面垂直的性质.面面垂直线面垂直，符号表示为：，b，a，ab，那么a.例8.37已知直线l和两个不同的平面,，则下列命题中正确的是（）..A若,ll，则//.B若//l,//l，则//.C若,l，则//l.D若,l，则l解析举反例排除法，如图8-137所示在正方体1111ABCDABCD中，1111//ABABCD平面，11//ABCDDC平面，而平面11ABCD与平面11CDDC相交，故选项B错；111AAADDA平面，平面111111BCCBABCD平面，而11//ADBCCB平面，故选项D错.故选A.另解：由“垂直于同一条直线的两个平面平行”知选项A正确.变式1已知直线l平面，直线m平面，有下面4个命题：①//lm；②////lm；③//lm；④////lm.其中正确的命题是（）..A①②.B③④.C②④.D①③变式2设m和n是两条不同的直线，和是两个不同的平面，给出下列4个命题：①若,,mnmn，则//n；②若//,m，则//m；③若,m，则//m或m；④若,,mnmn，则.其中正确命题的序号为.例8.38如图8-138所示，在正方体1111ABCDABCD中，1AC为其对角线.求证：111ACBCD平面.分析由线面垂直的判定定理,证明直线1AC与11BCD平面的两条相交线垂直.解析如图8-139所示,连接11,BCCD.因为在正方体中AB平面11BCCB,所以11ABBC,且11BCAC,又1ABBCB,所以11BCABC平面,因此11BCAC,同理11CDAC,又11BCCDC,所以111ACBCD平面.评注判断线线垂直与线面垂直,最基本的思路是:“一直线与三角形两边所在的直