2020年浙江高三数学总复习：基本不等式--复习讲义

第三节基本不等式复习目标学法指导1.会推导基本不等式.2.会用基本不等式求最值.1.基本不等式具有放缩功能.2.基本不等式可以用来求函数式的最值,但必须具备三个条件,即一正、二定、三相等.3.合理配凑基本不等式的三个条件求最值.4.求最值时尽量避免多次使用基本不等式,若多次使用,必须保证它们等号成立的条件一致,否则会出现错误.(对应学生用书第50页)一、基本不等式基本不等式:ab≤2ab(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.(3)其中2ab称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b都是正数,在解题时,如果a,b为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题.(2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论几个常用的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)ab≤(2ab)2(a,b∈R).(3)(2ab)2≤222ab(a,b∈R).(4)ba+ab≥2(ab0).(5)211ab≤ab≤2ab≤222ab(a0,b0).(6)a+1a≥2(a0),当且仅当a=1时取等号;a+1a≤-2(a0),当且仅当a=-1时取等号.二、利用基本不等式求最值问题1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为正实数,且a+b=M,M为定值,则ab≤24M,等号当且仅当a=b时成立.(简记:和定积最大)2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为正实数,且ab=P,P为定值,则a+b≥2P,等号当且仅当a=b时成立.(简记:积定和最小)1.理解辨析利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正、二定、三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”即检验等号成立的条件,判断等号能否取到,只有等号能成立,才能利用基本不等式求最值.2.与基本不等式相关联的结论用f(x)+()bfx≥2b(b0)或f(x)+()bfx≤-2b(b0),求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+bx(b0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,b∈R,a,b≠0,则“a0,b0”是“2ab≥ab”的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a0,b0时,显然2ab≥ab成立.当2ab≥ab成立时,有两个结论出现:20,0,ababab所以a0,b0.故选C.2.已知a0,b0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是(C)(A)72(B)4(C)92(D)5解析:依题意,得1a+4b=12(1a+4b)·(a+b)=12[5+(ba+4ab)]≥12(5+24baab)=92,当且仅当2,4,0,0,abbaabab即a=23,b=43时取等号,即1a+4b的最小值是92.故选C.3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.解析:因为x2+2y2≥2222xy=22,当且仅当x2=2y2时取“=”,所以x2+2y2的最小值为22.答案:224.已知a,b为正数且a+b=1,则(1+1a)(1+1b)的最小值为.解析:因为a+b=1,所以原式=(1+aba)(1+abb)=(2+ba)(2+ab)=5+2(ba+ab)≥9,当且仅当a=b=12时取等号,所以最小值为9.答案:9(对应学生用书第50～52页)考点一利用基本不等式求最值【例1】(1)(2018·浙江六校联考)已知x0,y0,且x+y+1x+1y=5,则x+y的最大值是()(A)3(B)72(C)4(D)92(2)(2018·嘉兴高三测试)已知a0,b0,且满足3a+b=a2+ab,则2a+b的最小值为;(3)已知正实数a,b满足1a+2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是;(4)已知实数x,y0,且xy=2,则3322848xyxy的最小值是.解析:(1)由x+y+1x+1y=5,得5=x+y+xyxy,因为x0,y0,所以5≥x+y+2()2xyxy=x+y+4xy,所以(x+y)2-5(x+y)+4≤0,解得1≤x+y≤4,所以x+y的最大值是4.故选C.(2)由a0,b0,3a+b=a2+ab,可得b=231aaa0,解得1a3.故2a+b=2a+231aaa=a-1+21a+3≥22(1)1aa+3=22+3,当且仅当a-1=21a,即a=1+2,b=1时取等号.故2a+b的最小值为3+22.(3)因为a0,b0,所以3=1a+2b≥22ab⇒ab≥223⇒ab≥89.当且仅当12,123,abab即2,343ab时等号成立,所以ab的最小值是89,又1a+2b=2baab=3,所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×89+2=509.(4)因为x,y0,且xy=2,所以3322848xyxy=2222(2)(24)44xyxxyyxyxy=22(2)[(2)6](2)xyxyxyxy=2(2)2xyxy=(x+2y)-122xy,令x+2y=t,则t=x+2y≥22xy=4,f(t)=t-12t在[4,+∞)上单调递增,所以当t=4时有最小值4-124=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号.答案:(1)C(2)3+22(3)509(4)1(1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解;②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018·杭州二中月考)若正数a,b满足1a+1b=1,则11a+91b的最小值为(B)(A)1(B)6(C)9(D)16解析:因为正数a,b满足1a+1b=1,所以b=1aa0,解得a1,同理b1,所以11a+91b=11a+911aa=11a+9(a-1)≥219(1)1aa=6,当且仅当11a=9(a-1),即a=43时等号成立,所以11a+91b的最小值为6.故选B.2.已知log2(x+y)=log2x+log2y,则1x+1y=,x+2y的最小值为.解析:由log2(x+y)=log2x+log2y得,x+y=xy且x0,y0,所以1x+1y=1.x+2y=(x+2y)(1x+1y)=3+xy+2yx≥3+22xyyx=3+22,当且仅当xy=2yx,即x=1+2,y=222时取等号.答案:13+22考点二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1.求证:1a+1b+1c≥9.证明:因为a0,b0,c0,且a+b+c=1,所以1a+1b+1c=abca+abcb+abcc=3+ba+ca+ab+cb+ac+bc=3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,取等号.利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换;(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a0,b0,a+b=1,求证:1a+1b+1ab≥8.证明:1a+1b+1ab=2(1a+1b),因为a+b=1,a0,b0.所以1a+1b=aba+abb=2+ab+ba≥2+2=4.所以1a+1b+1ab≥8(当且仅当a=b=12时等号成立).2.已知a0,b0,a+b=1,证明:12a+12b≤2.证明:因为a0,b0,且a+b=1,所以12a+12b=1()12a+1()12b≤1122a+1122b=32ab=42=2.当且仅当a+12=1,b+12=1,即a=b=12时等号成立.考点三基本不等式的综合应用【例3】运货卡车以每小时x(50≤x≤100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+2360x)升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解:(1)设所用时间为t=130x(小时),y=130x×2×(2+2360x)+14×130x,x∈[50,100].所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=2340x+1318x,x∈[50,100].(2)y=2340x+1318x=13018x+2130360x≥2610,当且仅当13018x=2130360x,即x=1810时,等号成立.故当x=1810千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元.有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.1.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)解:(1)依题意得y=(560+48x)[phone]x=560+48x+10800x(x≥10,x∈N*).(2)因为x0,所以48x+10800x≥24810800=1440,当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”,此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元).故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-21kt(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家这一年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意有1=4-1k,得k=3,故x=4-321t.故y=1.5×612xx·x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6(4-321t)-t=27-1821t-t(t≥0).(2)由(1)知,y=27-1821t-t=27.5-[912t+(t+12)].912t+(t+12)≥2×91()122tt=6,故y=27-1821t-t=27.5-[912t+(t+12)]≤27.5-