数列通项公式的求法(有答案)

数列通项公式的求法一、近6年全国卷（2009——2014）求数列通项公式的试题概览年份试题特点或已知条件类型或方法2009卷121)11(,111nnanaann)()(1nqanpann转化，累加法2009卷224,111nnaSannnqrapa1，nS与na的关系，构造等差数列2010卷1nnaaa125,111qapann1，转化，构造等比数列2010新课标121123,2nnnaaannnqpaa1累加法2011新课标na是等比数列，6223219,132aaaaa定义法，11nnqaa2012全国卷2341nnnxxxqapann1，转化，构造等比数列2013课标13132nnaSnS与na的关系，定义法，11nnqaa2013课标2na是等差数列，251a，1a，11a，13a成等比数列定义法，dnaan)1(12013大纲卷na是等差数列，223aS，1S，2S，4S成等比数列定义法，dnaan)1(12014课标1na是等差数列，2a，4a是方程0652xx的根定义法dnaan)1(12014课标213,111nnaaaqapann1，构造等比数列二、数列通项公式的求法（一）数列的通项公式：如果数列na的第n项na和项数n之间的函数关系可以用一个公式)(nfan来表示，这个公式叫做数列的通项公式。（二）数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一。在很多情况下，各种数列综合问题的求解，首先是对数列通项公式的求解，数列通项公式的求解问题往往是解决数列综合问题的突破口和关键。求数列通项公式的方法和类型通常归结为一下几种：1．观察法通过观察数列各项与项的序号的关系，找出各项共同的规律特征，归纳出通项公式的方法。2.定义法已知数列为等差数列或等比数列时，由已知条件求出首项和公差或公比代入等差数列或等比数列的通项公式求得。(1）等差数列：dnaan)1(1，或dmnaamn)(（2）等比数列：11nnqaa，或mmnqaa例1（2013新课标全国卷）已知等差数列的公差不为0，251a，且1a，11a，13a成等比数列，求数列na的通项公式。解：设na的公差为d0d,由1a，11a，13a成等比数列得131211aaa，)12()10(1121daada，0)252(1dad，25,01ad2d，)(,272Nnnan例2（2014全国卷）等差数列na的前n项和为nS，已知101a，2a为整数，且4SSn，求na的通项公式。解：由101a，2a为整数，知等差数列na的公差d为整数。又因为4SSn，所以，04a且05a.04100310dd,解得25310d.3d133)1(310)1(1nndnaan,Nnnan,133.练习1：（1）设na是公比大于1的等比数列，nS为na的前n项和。已知73S，且31a，23a，43a成等差数列，求数列na的通项公式。解：由已知得2313216437aaaaaa，22a.设na的公比为q，则qa21，qa23，代入7321aaa，得7222qq，2q或21q(舍去)，12nna，Nn.（2）(2013.湖北高考)已知nS是等比数列na的前n项和，4S，2S，3S成等差数列，且18432aaa，求na的通项公式。解：因为4S，2S，3S成等差数列，所以3422SSS432121)(2)(2aaaaaa，0243aa，342aa，2q又18432aaa，1831211qaqaqa，31a111)2(3nnnqaa，1)2(3nna，Nn3.公式法若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项公式可用公式)2(,)1(,11nSSnSannn求解。例3（2013.全国卷）若数列na的前n项和为3132nnaS，则数列na的通项公式为na。解：当1n时，naa313211，11a；当2n时，3132nnaS.313211nnaS，两式相减，得13232nnnaaa，12nnaa，21nnaa所以na为等比数列，公比2q，首项11a，111)2(nnnqaa.例4已知nS为正项数列na的前n项和，且满足nnnaaS21212，Nn，求数列na的通项公式。解：当1n时，12112121aaa，即121aa，又01a，11a当2n时,因为nnnaaS21212，所以12112121nnnaaS.两式相减得：121221212121nnnnnaaaaa，整理得：01212nnnnaaaa0)())((111nnnnnnaaaaaa，0)1)((11nnnnaaaa又0na，11nnaa，na为等差数列，1d，又11a，nan练习2：（1）已知数列na的前n项和23nnS，求数列na的通项公式。解：当1n时，11a.当2n时,因为23nnS，所以2311nnS.两式相减得：113233nnnna，又11a不适合上式，)2(,32)1(,11nnann.（2）（2013。江西高考）正项数列na的前n项和nS满足：0)()1(222nnSnnSnn.求数列na的通项公式。解：因为0)()1(222nnSnnSnn，所以0)1()(2nnSnnS0nS，nnSn2，可求得Nnnan,24.其他方法对于由递推公式确定的数列，通常可以对递推式进行变形、转化（构造）为等差数列或等比数列的问题得以解决。（1）累加法：求形如)(1nfaann（其中)(nf可求和）的数列的通项。可用累加法，即令nn,4,3,2，得到1n个等式累加求得通项。例5(2010全国新课标)设数列na满足21a，12123nnnaa，Nn求数列na的通项公式。解：因为12123nnnaa，Nn，分别令.1,4,3,2,1nn代入上式，得1n个等式累加，即:32531134231223232323)()()()(nnnaaaaaaaa2241)41(23)2222(312132531nnnnaa,又21a122nna练习3:（1）数列na满足11a，naann21，则数列na的通项公式为na。解：12nnan（2）数列na满足211a，nnaann211，则数列na的通项公式为na。解：111)1(1121nnnnnnaann，累加得naan111，nan123（2）累乘法：对于形如)(1nfaann的数列的通项求解，可用累乘法，即令.1,4,3,2,1nn得到1n个等式累乘求得通项。例6已知数列na满足321a，nnanna11，求数列na的通项公式。解：由已知得：11nnaann，分别令1,4,3,2,1nn，代入上式得1n个等式累乘之，即nnaaaaaaaann14332211342312，naan11，又321a，nan32，Nn练习4.已知数列na满足11a，Nnaanannn),(1，则数列na的通项公式为na.解：由已知得nnaann11，累乘可得nan.（3）构造法：求形如qpaann1（p、q为常数）或形如)(1nfpaann的数列通项，可以构造新数列，使得新数列是等差数列或是等比数列，从而求得通项。例7（2014新课标2）已知数列na满足11a，131nnaa，证明数列21na是等比数列，并求数列na的通项公式。解：由131nnaa得233211nnaa，即)21(3211nnaa，又23211a，所以数列21na是首项为23，公比为3的等比数列)13(21nna，Nn练习5.已知数列na的前n项和122nnnaS，求数列na的通项公式。解：当1n时，21122aa，41a；当2n时，122nnnaS，nnnaS2211，两式相减得：nnnnaaa2221，nnnaa221，两边同除以n2，得：)2.(12211naannnn，又2211a，nna2是以2为首项、以1为公差的等差数列。11)1(22nnann，nnna2)1(（三）求数列通项公式课后练习1.（2013课标1）已知等差数列na的前3项和nS，且03S，55S.求na的通项公式。2．（2013全国大纲卷）已知等差数列na的前n项和nS，且223aS，1S，2S，4S成等比数列，求na的通项公式。3.（2013天津）已知首项为23的等比数列na不是递减数列，其前n项和为nS，33aS，55aS，44aS成等差数列，求na的通项公式。4．（2014山东）已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列，求na的通项公式。5.已知数列na的前n项和nS，且)1(23nnaS，求na的通项公式。6.已知数列na满足Nnanaaann),13(833212321.求na的通项公式。7.（2013湖南）设nS为数列na的前33aSn项和，已知01a，nnSSaa112，Nn，求na的通项公式。8.已知数列na的前n项和nS，且21a，21naSnn，Nn，求na的通项公式。9.（2009全国卷2）已知等差数列na的前n项和nS，且11a，241nnaS，（1）证明nnaa21是等比数列。（2）求na的通项公式。10.(2009全国卷1)在数列na中，11a，nnnnana21)11(1.（1）设nabnn，求数列nb的通项公式。（2）求数列na的前n项和nS。（四）课后练习答案1.nan26.123nnna2．3na，或12nan7.12nna3.1)21(23nna8.121nna4.12nan9.22)13(nnna5.nna310.（1）1212nnb（2）422)1(1nnnnnS