探究化归与转化思想在高中数学中的应用

探究化归与转化思想在高中数学中的应用厦门五显中学陈秋枫在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化，归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之——化归和转化的思想方法。数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”，的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。由于转化具有多向性，层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。下面谈谈化归与转化思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型。1、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。例1、已知函数14)(2axxxf在（0，1）内至少有一个零点，试求实数a的取值范围。分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理。解：（法一）当函数14)(2axxxf在（0，1）内没有零点时0142axx在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，xxa14.而当x（0，1）时，414214xxxx，得,414xx。要使xxa14，必有4a故满足题设的实数的取值范围是,4（法二）设14)(2axxxf，对称轴为8ax，注意到01)0(f，故对称轴必须在y轴的右侧。(1)当180a时，即80a，有Raaafa,440)0(,0162或44aa或，此时84a；(2)当18a时，有,5050)1(aaf此时有8a。综合（1）（2）得实数的取值范围是,4点评：运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力，分类讨论能力和较强的洞察力（注意到),01)0(f有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确。“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处。2、常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。例2、已知曲线系kC的方程为14922kykx,试证明:坐标平面内任一点()0,)(,baba,在kC中总存在一椭圆和一双曲线过该点.分析：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当kC944时，或kk表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间)4,(和(4,9)内分别存在k值,使曲线kC过点(a,b).解：设点()0,)(,baba)在曲线kC上,则14922kykx整理得0)9436()13(22222bakbak①.05)9(,05)4(),9436()13()(2222222afbfbakbakkf令可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在)4,(和(4,9)内分别有一根,即对平面内任一点(a,b),在曲线系kC中总存在一椭圆和一双曲线通过该点.点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解析几何中用的较普通。3、特殊与一般的转化一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。例3、已知向量)sin2,(cos),sin2,(cos2211OBOA，若),sin,(cos11OA)sin,(cos22OB，满足0OBOA，则OAB的面积OABS等于。分析：可取21,的某些特殊值代人求解。解：由条件0OBOA可得0)cos(21。利用特殊值，如设0,221代入，则)0,1(),2,0(BA，故面积为1。例4、已知函数)10()(aaaaaxfxx且,求)10099()1002()1001(fff的值.分析:直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系.解:)1()(xfxfaaaxxaaaxx11=aaaxxaaaax=aaaxxxaaa=1aaaaxx于是)10099()1002()1001(fff=)10050()10051()10049()10098()1002()10099()1001(fffffff=2992`1491点评：一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。4、等与不等的转化相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果。例5、已知ba,都是实数，且11122abba求证：122ba。分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求a与b之间的关系。解：,2)1(1222baba2)1(1222abab，11122abba。又11122abba，21ba且21ab即122ba。点评：利用等与不等之间的辩证关系，相互转化，往往可以使问题得到有效解决。5、数与形的转化许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。例6、求函数xxaxf2cossin42)(的最大值和最小值。分析：令txsin，转化为关于t的二次函数在闭区间上的最值问题，结合二次函数图像讨讨论可得。解：222221)(sin21sin4sin2)sin21(sin42)(aaxxaxxxaxfy.设,sintx则11t，并且2221)(2)(aattgy。当1a时如图。有,4-31agy）（最大,431agy）（最小当11a时，,最大y为)1(g和)1(g中的较大者，即)01(4-3aay最大或)10(43aay最大.当1a时，有,431agy）（最大agy431）（最小。点评：通过换元降三角问题转化为较为熟悉的二次函数问题，利用二次函数图像结合分类讨论，使问题得到解决。6、陌生与熟悉的转化数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化。例7、对任意函数Dxxf),(可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据Dx0，经数列发生器输出)(01xfx；②若Dx1，则数列发生器结束工作；若Dx1则将1x反馈回输入端，再输出)(12xfx，并依此规律继续下去，现定义124)(xxxf。⑴若输入65490x，则由数列发生器产生数列nx，请写出nx的所有项；⑵若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据0x的值；oxy1-1⑶若输入0x时，产生的无穷数列nx，满足对任意正整数n均有1nnxx，求0x的取值范围。分析：此题富有新意，综合性、抽象性较强，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言。解：（1）)(xf的定义域),1()1,(D，数列nx只有三项，19111x，512x，13x（2）xxxxf124)(，即0232xx，nnnnxxxxxxx12421,2110时，或即或故当当时，,110nxx20x时，)(2Nnxn（3）解不等式124xxx，得1x或21x，要使21xx，则11x或211x对于函数164124)(xxxxf，若11x则,4)(12xfx223)(xxfx；若211x则112)(xxfx且212x依此类推可得数列nx的所有项均满足)(1Nnxxnn综上所述，)2,1(1x由)(01xfx，得)2,1(0x点评：本题主要考查学生的阅读审题、综合理解的能力，涉及函数求值的简单运算、方程思想的应用，解不等式及化归转化思想的应用。由以上几种典型题型的剖析足以说明掌握好化归与转化的思想方法对学好高中数学是非常有帮助的，它可以帮助我们寻找到一些简单的方法来解决一些较为复杂的题目。但我们在应用化归与转化的思想方法还应注意它的三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；2、转化到何处，即转化的目标；3、如何进行转化，即转化的方法。为了让我们更好地应用化归与转化的思想方法，我们在应用时还应遵循以下五条原则：1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解；2、简单化原则，将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。YN结束打印fDxi5、正难则反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的发面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。总之，化归与转化的思想方法是高中数学的一种重要思想方法，掌握好化归与转化的思想方法的特点，题型，方法，要素，原则对我们学习数学是非常有帮助。