必修四第三章向量单元检测-含答案

单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知函数f(x)＝sin4xcos4x，则f(x)的最小正周期是()A.π4B.π2C．πD．2π解析：f(x)＝sin4xcos4x＝12sin8x，故最小正周期为π4.答案：A2．设向量a＝(sin15°，cos15°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a，b的夹角为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：a·b＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin30°＝12，∴cos〈a，b〉＝121×1＝12，∴〈a，b〉＝60°.答案：B3．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)·tanα的值为()A．±4B．4C．－4D．1解析：3cos[(α＋β)＋α]＋5cosβ＝0，即3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cosβ＝0.3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos[(α＋β)－α]＝0，3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)·cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0,8cos(α＋β)cosα＋2sin(α＋β)sinα＝0，8＋2tan(α＋β)tanα＝0，∴tan(α＋β)tanα＝－4.答案：C4．若sinα＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)等于()A．－210B.210C．－7210D.7210解析：∵sinα＝35，α∈(－π2，π2)，∴cosα＝1－sin2α＝45.∴cos(α＋5π4)＝－22(cosα－sinα)＝－210.答案：A5．在△ABC中，已知tanA＋B2＝sinC，则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：在△ABC中，tanA＋B2＝sinC＝sin(A＋B)＝2sinA＋B2cosA＋B2，∴2cos2A＋B2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝π2，△ABC为直角三角形．答案：C6．已知α，β均为锐角，P＝cosαcosβ，Q＝cos2α＋β2，那么P，Q的大小关系是()A．PQB．PQC．P≤QD．P≥Q解析：因为P＝cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，Q＝cos2α＋β2＝12[cos(α＋β)＋1]，显然cos(α－β)≤1，故P≤Q.当且仅当α－β＝2kπ(k∈Z)时，P＝Q.答案：C7．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()A．－53B．－59C.59D.53解析：sinα＋cosα＝33，两边平方可得1＋sin2α＝13⇒sin2α＝－23，∵α是第二象限角，因此sinα0，cosα0，所以cosα－sinα＝－cosα－sinα2＝－1＋23＝－153，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝－53.答案：A8．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sinα＝35，cos(α＋β)＝－45，则sinβ＝()A．0B．0或2425C.2425D．±2425解析：∵0＜α＜π2＜β＜π且sinα＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cosα＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±35，当sin(α＋β)＝35时，sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝35×45－－45×35＝2425；当sin(α＋β)＝－35时，sinβ＝－35×45－－45×35＝0.又β∈π2，π，∴sinβ＞0，故sinβ＝2425.另法：(排除法)∴π2＜β＜π，∴sinβ＞0.故排除A，B，D.答案：C9．若α，β为锐角，sinα＝x，cosβ＝y，cos(α＋β)＝－35，则y关于x的函数为()A．y＝－351－x2＋45x(35x1)B．y＝－351－x2＋45x(0x1)C．y＝－351－x2－45x(0x35)D．y＝－351－x2－45x(0x1)解析：由y＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－351－x2＋45x0，解得x∈(35，1)．答案：A10．已知△ABC中tanA＝cosB－cosCsinC－sinB成立，则△ABC为()A．等腰三角形B．等腰三角形或A＝60°的三角形C．A＝60°的三角形D．任意三角形解析：sinAcosA＝－2sinB＋C2sinB－C22cosB＋C2sinC－B2＝sinπ2－A2cosπ2－A2＝cosA2sinA2，2sinA2·cosA2·sinA2＝cosA·cosA2，∵cosA2≠0，∴2sin2A2＝cosA，∴2sin2A2＝1－2sin2A2.∴sin2A2＝14，∵0Aπ，∴0A2π2，∴sinA20，∴sinA2＝12，∴A＝60°.答案：C11．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为()A．－72B．－12C.12D.72解析：cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2αsinαcosπ4－cosαsinπ4＝cosα＋sinαcosα－sinα－22cosα－sinα＝cosα＋sinα－22＝－22，所以cosα＋sinα＝12.答案：C12．若实数x，y满足1≤x2＋y2≤4，则x2＋2xy－y2的取值范围是()A．[－2，42]B．[2，42]C．[－42，42]D．[－2，2]解析：令x＝rcosα，y＝rsinα(r0)，1≤r≤2，∴x2＋2xy－y2＝r2(cos2α＋2sinαcosα－sin2α)＝r2·(cos2α＋sin2α)＝2r2sin(2α＋π4)．又－2≤2·sin(2α＋π4)≤2，故所求的取值范围为[－42，42]．答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)13．设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.解析：本题考查向量共线，倍角公式．∵a∥b，∴sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ，即sinθcosθ＝tanθ＝12.正确应用向量共线的条件是解题关键．答案：1214．已知cosαcos(α＋β)＋sinαsin(α＋β)＝－35，β是第二象限的角，则tan2β＝________.解析：由已知条件得cos[α－(α＋β)]＝cosβ＝－35，又β是第二象限角，∴sinβ＝45，∴tanβ＝－43，∴tan2β＝2tanβ1－tan2β＝247.答案：24715．已知4sinαsinβ＝2，4cosαcosβ＝6，则cos2α＋cos2β的值是________．解析：由已知sinαsinβ＝24，cosαcosβ＝64，∴cos(α＋β)＝6－24，cos(α－β)＝6＋24，∴cos2α＋cos2β＝2cos(α＋β)cos(α－β)＝2×6－216＝12.答案：1216．在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对边，则下列结论：①若ab，则f(x)＝(sinA－sinB)x在R上是增函数；②若a2－b2＝(acosB＋bcosA)2，则△ABC是直角三角形；③cosC＋sinC的最小值为－2；④若cos2A＝cos2B，则A＝B.其中错误的序号是________．解析：①对．②由已知得a2－b2＝c2，∴②正确．cosC＋sinC＝2sin(C＋π4)∈(－1，2]，故③错．由cos2A＝cos2B得A＝B，④对．答案：③三、解答题(共74分)17．(12分)已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，求sinα的值．解：∵π2απ，∴π2α2π.又－π2β0，∴0－βπ2，∴π2α－β5π2.而sin(2α－β)＝350，∴2π2α－β5π2，∴cos(2α－β)＝45.又－π2β0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×(－1213)＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130，又α∈(π2，π)，∴sinα＝3130130.18．(12分)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－12.(1)若0απ2，且sinα＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)∵0απ2，sinα＝22，∴cosα＝22∴f(α)＝22(22＋22)－12＝12(2)∵f(x)＝sinxcosx＋cos2x－12＝12sin2x＋1＋cos2x2－12＝12sin2x＋12cos2x＝22sin(2x＋π4)∴T＝2π2＝π由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z得kπ－38π≤x≤kπ＋π8k∈Z∴f(x)的单调递增区间为[kπ－38π，kπ＋π8]k∈Z.19．(12分)已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋π2，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)，求证：tan(α＋β)＝2tanα.解：由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[α＋(α＋β)]∴3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)，移项整理得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∵α≠kπ＋π2，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)，∴cosα≠0，cos(α＋β)≠0，∴sinα＋βcosα＋β＝2sinαcosα，即tan(α＋β)＝2tanα.20．(12分)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋π4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin(2x－π4)．所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间[0，3π8]上是增函数，在区间[3π8，π2]上是减函数．又f(0)＝－2，f(3π8)＝22，f(π2)＝2，故函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为22，最小值为－2.21．(13分)求函数y＝sin3xsin3x＋cos3xcos3xcos22x＋sin2x的最小值．解：∵sin3xsin3x＋cos3xcos3x＝(sin3xsinx)sin2x＋(cos3xcosx)cos2x＝12[(cos2x－cos4x)sin2x＋(cos2x＋cos4x)cos2x]＝12[(sin2x＋cos2x)cos2x＋(cos2x－sin2x)cos4x]＝12(cos2x＋cos2xcos4x)＝12cos2x(1＋cos4x)＝cos32x，∴y＝cos32xcos22x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)．∴当sin(2x＋π4)＝－1，即x＝5π8＋kπ(k∈Z)时，y有最小值－2.22．(13分)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω0，－π2≤φπ2)的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f(α2)＝34(π6α2π3)，求cos(α＋3π2)的值．解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f(x)的图象关于直线x＝π3对称，所以2·π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，…，因－π2≤φπ2得k＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f(α2)＝3sin(2·α2－