史上最全的数列通项公式的求法15种

最全的数列通项公式的求法-1-最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1.根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0………◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式.②已知数列na的前n项和nS满足21nSnn，求数列na的通项公式.③已知等比数列na的首项11a，公比10q，设数列nb的通项为21nnnaab，求数列nb的通项公式。③解析：由题意，321nnnaab，又na是等比数列，公比为q∴qaaaabbnnnnnn21321，故数列nb是等比数列，)1(211321qqqaqaaab，∴)1()1(1qqqqqbnnn◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(NnxAnn，其中01x，)0(2aax，3A是线段21AA的中点，4A是线段32AA的中点，…，nA是线段12nnAA的中点，…（1）写出nx与21,nnxx之间的关系式（3n）。最全的数列通项公式的求法-2-（2）设nnnxxa1，计算321,,aaa，由此推测na的通项公式，并加以证明。（3）略解析：（1）∵nA是线段32nnAA的中点，∴)3(221nxxxnnn（2）aaxxa0121，2122322xxxxxa=axx21)(2112，3233432xxxxxa=axx41)(2123，猜想*)()21(1Nnaann，下面用数学归纳法证明01当n=1时，aa1显然成立；02假设n=k时命题成立，即*)()21(1Nkaakk则n=k+1时，kkkkkkxxxxxa21121=kkkaxx21)(211=aakk)21()21)(21(1∴当n=k+1时命题也成立，∴命题对任意*Nn都成立。变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆◆四、累加（乘）法对于形如)(1nfaann型或形如nnanfa)(1型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列na中，31a，naann1，求通项na。解析：由naann1得naann1，所以11naann，221naann，…，112aa，将以上各式相加得：1)2()1(1nnaan，又31a最全的数列通项公式的求法-3-所以na=32)1(nn例5.在数列na中，11a，nnnaa21（*Nn），求通项na。解析：由已知nnnaa21，112nnnaa，2212nnnaa，…，212aa，又11a，所以na=1nnaa21nnaa…12aa1a=12n22n…12=2)1(2nn◆五、取倒（对）数法a、rnnpaa1这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1，再利用待定系数法求解b、数列有形如0),,(11nnnnaaaaf的关系，可在等式两边同乘以,11nnaa先求出.,1nnaa再求得c、)()()(1nhanganfannn解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann1。例6.．设数列}{na满足,21a),N(31naaannn求.na解：原条件变形为.311nnnnaaaa两边同乘以,11nnaa得11131nnaa.∵113211,211)2113nnnnaaa（∴.13221nna例7、设正项数列na满足11a，212nnaa（n≥2）.求数列na的通项公式.解：两边取对数得：122log21lognnaa，)1(log21log122nnaa，设1log2nanb，则12nnbbnb是以2为公比的等比数列，11log121b.11221nnnb，1221lognan，12log12nan，∴1212nna变式:1.已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！2、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa，则求这个数列的通项公式。最全的数列通项公式的求法-4-3、已知数列{na}满足2,11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛an｝中，a1=1，a1n=22nnaan∈N，求通项an．◆六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、（2003·高考·广东）设a0为常数，且an＝3n-1－2an-1（n为正整数）证明对任意n≥1，an＝[3n＋（－1）n-1·2n]＋（－1）n·2na0证明：an＝3n-1－2an-1＝3n-1－2（3n-2－2an-2）＝3n-1－2·3n-2＋22（3n-3－2an-3）＝3n-1－2·3n-2＋22·3n-3－23（3n-4－2an-4）………………＝3n-1－2·3n-2＋22·3n–3－…＋（－1）n-1·2n-1＋（－1）n·2na0（－1）n·2na0前面的n项组成首项为3n-1，公比为－的等比数列，这n项的和为：＝[3n＋（－1）n-1·2n]∴an＝[3n＋（－1）n-1·2n]＋（－1）n·2na0◆七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如a1n=pan+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a1n+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=1pq，从而得等比数列{an+k}。例9、数列{an}满足a1=1，an=21a1n+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。解：由an=21a1n+1（n≥2）得an－2=21（a1n－2），而a1－2=1－2=－1，∴数列{an－2}是以21为公比，－1为首项的等比数列∴an－2=－（21）1n∴an=2－（21）1n说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{an－2}，从而达到解决问题的目的。最全的数列通项公式的求法-5-练习、1数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。解：由0731nnaa得37311nnaa设a)(311kaknn，比较系数得373kk解得47k∴{47na}是以31为公比，以43471471a为首项的等比数列∴1)31(4347nna1)31(4347nna2、已知数列na满足11a，且132nnaa，求na．解：设)(31tatann，则1231ttaann，)1(311nnaa1na是以)1(1a为首项,以3为公比的等比数列111323)1(1nnnaa1321nna点评：求递推式形如qpaann1（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11pqappqann来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．2、递推式为11nnnqpaa（p、q为常数）时，可同除1nq，得111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而化归为qpaann1（p、q为常数）型．、例10．已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na．解：将123nnnaa两边同除n3，得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3，则1321nnbb．令)(321tbtbnntbbnn313213t．条件可化成)3(3231nnbb，数列3nb是以3833311ab为首项，32为公比的等比数列．1)32(383nnb．因nnnab3,)3)32(38(331nnnnnba2123nnna．3、形如banpaann1)001(，a、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。例11:设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.解：令1(1)3()nnaxnyaxny化简得：1322nnaaxnyx最全的数列通项公式的求法-6-所以2221xyx解得10xy，所以1(1)3()nnanan又因为115a，所以数列nan是以5为首项，3为公比的等比数列。从而可得1153,53-nnnnanan所以变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛na｝中，11122nnanaa、点（、）在直线y=x上，其中n=1,2,3…新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(Ⅰ)令是等比数列；求证数列nnnnbaab,31(Ⅱ)求数列的通项；na4、形如21nnapaanbnc)001(，a、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()nnaxnyncpaxnync，与已知递推式比较，解出yx,,z.从而转化为2naxnync是公比为p的等比数列