函数的单调性-含答案

2.1.3函数的单调性课时目标1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．增函数与减函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的____________________，改变量Δx＝x2－x10，则当__________________时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当________________________时，那么就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．2．单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是________或是________，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为________．3．函数的平均变化率因变量的改变量与自变量改变量的比ΔyΔx＝__________________叫做函数y＝f(x)从x1到x2之间的平均变化率．在区间[a，b]上，若ΔyΔx0，则f(x)在[a，b]上为增函数；若ΔyΔx0，则f(x)在[a，b]上为减函数．一、选择题1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x0，则f(x)0；④若x0，则f(x)0，其中正确的是()A．②③B．①④C．②④D．①③2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1x2，则有()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)f(x2)D．以上都可能3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一个根B．至多有一个根C．无实根D．必有唯一的实根4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是()A.fx1－fx2x1－x20B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0C．f(a)f(x1)f(x2)f(b)D.x1－x2fx1－fx206．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为()A．(－∞，－3]B．(－∞，－1]C．[1，＋∞)D．[－3，－1]题号123456答案二、填空题7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.三、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且ag(x)b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝1x在定义域上是减函数．3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．若f(x)0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．2．1.3函数的单调性知识梳理1．任意两个值x1，x2Δy＝f(x2)－f(x1)0Δy＝f(x2)－f(x1)02．增函数减函数单调区间3.y2－y1x2－x1作业设计1．B2．A[由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2x1，对应的f(x2)f(x1)．]3．D[∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)0，∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)0，f(b)0，②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)0，f(b)0，由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]4．C[如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]5．C[由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1x2时，可有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．]6．A[该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]7．m0解析由f(m－1)f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－12m－1，∴m0.8．－3解析f(x)＝2(x－m4)2＋3－m28，由题意m4＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.9．解y＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3x≥0－x2－2x＋3x0＝－x－12＋4x≥0－x＋12＋4x0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明设ax1x2b，∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)g(x2)，且ag(x1)g(x2)b，又∵f(x)在(a，b)上是增函数，∴f(g(x1))f(g(x2))，∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．11．解函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1＝x22－x21x22－1＋x21－1＝x2－x1x2＋x1x22－1＋x21－1.∵1≤x1x2，∴x2＋x10，x2－x10，x22－1＋x21－10.∴f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．12．解(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)函数f(x)在R上单调递减．任取x1，x2∈R，且设x1x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，由于x2－x10，所以0f(x2－x1)1.在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.当x0时，0f(x)1，所以f(－x)＝1fx10，又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]0，即f(x2)f(x1)．所以函数f(x)在R上单调递减．13．解(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴m－2≥2m－20，解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．