必修一第三章--3.3幂函数

§3.3幂函数课时目标1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．1．一般地，形如______________________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象．3．结合2中图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．(2)若α0时，幂函数图象过点________________________________，且在第一象限内______；当0α1时，图象上凸，当α1时，图象______．(3)若α0，则幂函数图象过点______，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．(5)幂函数在第____象限无图象．一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝2xD．y＝x－12．幂函数f(x)的图象过点(4，12)，那么f(8)的值为()A.24B．64C．22D.1643．下列是y＝23x的图象的是()4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－125．设a＝2535，b＝3525，c＝2525，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cabD．bca6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是()A．0B．2C．3D．4题号123456答案二、填空题7．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．8．函数y＝12x＋x－1的定义域是________．9．已知函数y＝23mx的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．三、解答题10．比较121.1、121.4、131.1的大小，并说明理由．11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．能力提升12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·21mmx，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．13．点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)．1．幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数nm中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝nm(m、n∈N*，m、n互质)时，有：nmy＝nmx的奇偶性定义域奇数偶数非奇非偶函数[0，＋∞)偶数奇数偶函数(－∞，＋∞)奇数奇数奇函数(－∞，＋∞)3.幂函数y＝nmx的单调性，在(0，＋∞)上，nm0时为增函数，nm0时为减函数．§3.3幂函数知识梳理1．函数y＝xα(a∈R)的函数3.(1)(1,1)(2)(0,0)，(1,1)递增下凸(3)(1,1)递减(4)原点y轴(5)四作业设计1．C[根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]2．A[设幂函数为y＝xα，依题意，12＝4α，即22α＝2－1，∴α＝－12.∴幂函数为y＝12x，∴f(8)＝128＝18＝122＝24.]3．B[y＝23x＝3x2，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝3－x2＝3x2＝f(x)，即y＝23x是偶函数，又∵231，∴图象上凸．]4．B[作直线x＝t(t1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A[根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝25x在x0时是增函数，所以ac，y＝(25)x在x0时是减函数，所以cb.]6．B[因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0|x|1.要使f(x)＝xα|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1|x|；当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2|x|；当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－21|x|.综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]7．④解析当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．8．(0，＋∞)解析y＝12x的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．9．m－32解析由幂函数的性质知－2m－30，故m－32.10．解考查函数y＝1.1x，∵1.11，∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵1213，∴121.1131.1.再考查函数y＝12x，∵120，∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵1.41.1，∴121.4121.1，∴121.4121.1131.1.11．解由题意，得3m－70.∴m73.∵m∈N，∴m＝0,1或2，∵幂函数的图象关于y轴对称，∴3m－7为偶数．∵m＝0时，3m－7＝－7，m＝1时，3m－7＝－4，m＝2时，3m－7＝－1.故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.12．解(1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.13．解设f(x)＝xα，则由题意，得2＝(2)α，∴α＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，由题意，得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2.在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x1或x－1时，f(x)g(x)；(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．