2015版人教A版数学必修2课本例题习题改编

第1页共12页AABBCC232015版人教A版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学伍海军[e-mail]1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．改编如图是一个几何体的三视图（单位：cm）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA与BC所成的角为，求cos．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC的高为1，所以22112AB．故所求全面积22ABCBBCCABBASSSS2(cm)．1221322328622这个几何体的体积121332ABCVSBB3(cm)（Ⅲ）因为//AABB，所以AA与BC所成的角是BBC．在RtBBC中，22223213BCBBBC，故33cos131313BBBC．俯视图A正视图侧视图ABBABCABCABC123113正视图侧视图俯视图第2页共12页2PP正视图侧视图OOOO2222222俯视图POO2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．改编1如图，已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为3cm）．所以所求表面积21212127S2(cm)，所求体积22131213233V3(cm)．3.原题（必修2第30页习题1.3B组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。改编已知直角三角形ABC，其三边分为cba,,,（cba）.分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,SSS和321,,VVV,则它们的关系为()A.321SSS,321VVVB.321SSS,321VVVC.321SSS,321VVVD.321SSS,321VVV解：aabcVcbabcS211)(31),)((,222231,bcVcacS,cbVbabS232331,,选B.4.原题（必修2第32页图像）改编如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：第3页共12页解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．5.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）改编1如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为60的直线共有12对.改编2如图正方体中，o，1o为底面中心，以1oo所在直线为旋转轴，线段1BC形成的几何体的正视图为（）(1)(2)(3)(4)AA1B1C1D1BCDOO1(A)(B)(C)(D)第4页共12页解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C.6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？改编如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、D不可能，故选C.7.原题（必修2第59页例3）改编设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥（如右图）,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α（）A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n,直线m、n确定了一个平面β．作与β平行的平面α,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．答案：D.8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.改编如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。解：液体部分的体积为三棱锥体积的18，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的78，(A)(B)(C)(D)ABCA1B1C1第5页共12页设空出三棱锥的高为x，则331x=87，所以，x=273,液面高度为1273.9.原题（必修2第63页习题2.2B组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值.改编如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______.(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值；(6)当容器任意倾斜时,水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时,水面可以是五边形.（1）（2）（3）解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.（6）（7）10.原题（必修2第79页复习参考题A组第十题）如图，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论.改编如图，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面BFBEBFBE第6页共12页PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为,PCAB，所以PCAB．同理PDAB．又PCPDP，故AB平面PCD．（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角．又1,2PCPDCD，所以2222CDPCPD，即090CPD．在平面四边形PCHD中，090PCHPDHCPD，所以090CHD．故平面平面．11.原题（必修2第90页习题3.2B组第一题）已知点)2,5(),2,2(NM,点P在x轴上，且MPN为直角,求点P的坐标.改编：已知点)2,5(),2,2(NM,P在x轴上，若MPN为锐角，则点P的横坐标的取值范围是________解：用向量的数量积判别：0NPMP，易求答案为6m或1m12.原题（必修2第100页习题3.2A组第三题）已知)4,7(A，)6,5(B，求线段AB的垂直平分线的方程.改编1已知)4,7(A关于直线l的对称点为)6,5(B，则直线l的方程是（）A.01165yxB.0156yxC.01156yxD.0165yx解：依题意得，直线l是线段AB的垂直平分线.∵65ABk，∴561ABlkk，∵AB的中点为（1，1），∴直线l的方程是)1(561xy即0156yx，故选（B）.改编2已知圆16)4()7(22yx与圆16)6()5(22yx关于直线l对称，则直线l的方程是.解：依题意得，两圆的圆心)4,7(A与)6,5(B关于直线l对称，故直线l是线段AB的垂直平分线，第7页共12页由改编1可得直线l的方程为0156yx.改编3求点)4,7(A关于直线0156:yxl的对称点B的坐标.解：设),(yxB.由lAB，且AB的中点在直线l上，得0124527615674yxxy，解得65yx，∴)6,5(B.13.原题（必修2第100页习题3.2A组第九题）求过点)3,2(P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.改编1求过点)3,2(P，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是.解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为23xy或xy23，即01yx或023yx.改编2直线l经过点)3,2(P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l的方程.解:依题意，直线l的斜率为±1，∴直线l的方程为23xy或)2(3xy，即01yx或05yx.14.原题（必修2第101页习题3.2B组第五题）若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l的斜率.改编：若直线l沿x轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的直线与原来的位置在水平方向上相差2个单位，则原直线的斜率为.15.原题（必修2第110页习题3.3B组第七题）已知AO是ABC边BC的中线，求证：2222||||2(||||)ABACAOOC.改编已知在三角形ABC中，D是BC边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD=解:34.16.原题（必修2第110页习题3.3B组第八题）已知01,01,xy求证：22222222(1)(1)(1)(1)22xyxyxyxy.改编长方形ABCD的顶点坐标是A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P是坐标平面上的动点，若AP2+BP2+CP2+DP2的值最小，则点P的位置在()A.长方形的顶点处B.AB边的中点处C.两条对角线的交点处D.三角形ABC的重心处解:设P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x2+y2+(x-a)2+y2+(x-a)2+(y-b)2+x2+(y-b)2=4(x-a/2)2+4(y-a/2)2+a2+b20.84或第8页共12页当P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选C.17.原题（必修2第114页复习参考题A组第3题）求直线01052yx与坐标轴围成的三角形的面积.改编1过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是.解：设所求直线方程为)5(4xky，依题意有5)45)(54(21kk，∴01630252kk（无解）或01650252kk，解得52k或58k.∴直线的方程是01052yx或02058yx.改编2（2006年上海春季卷）已知直线l过点)1,2(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为.解：设直线AB的方程为)0()2(1kxky，则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)