高中数学必修4综合测试(人教A版)-Word版含答案

数学必修4综合测试（人教A版）(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是()A．sinα2B．cosα2C．tanα2D．cos2α2．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为()A．(sinα，cosα)B．(cosα，sinα)C．(sinα，tanα)D．(tanα，sinα)3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．22C．4D．84．已知△ABC的三个顶点A，B，C及△ABC所在平面内一点P，若PA→＋PB→＋PC→＝0，若实数λ满足AB→＋AC→＝λAP→，则λ＝()A.32B．3C．－1D．25．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA→－3OB→＋2OC→＝0，则|AB→||BC→|等于()A.13B.12C．1D．26．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a∥b，则α＋β等于()A．0°B．90°C．135°D．180°7．若△ABC的内角A满足sin2A＝23，则sinA＋cosA为()A.153B．－53C.53D．－1538．若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，且a与b的夹角为30°，则a·b的值为()A.12B.32C.3D．239．已知sinx＋cosxsinx－cosx＝2，则sinxcosx等于()A.16B．±310C．－310D.31010．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(x∈R)，其中ω0，－πφ≤π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数11.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)，y＝f(x)的部分图像如图，则fπ24＝()A．2＋3B.3C.33D．2－312．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．设a＝(log2x,2)，b＝(1，－1)，a⊥b，则x＝______.14．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．15．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)，在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.16．对于函数f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，h(x)＝x＋π3，有如下四个命题：①f(x)－g(x)的最大值为2；②f[h(x)]在区间－π2，0上是增函数；③g[f(x)]是最小正周期为2π的周期函数；④将f(x)的图像向右平移π2个单位可得g(x)的图像．其中真命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝3sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．18．(12分)已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋π3)－32.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图像．19．(12分)已知向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.20．(12分)设α，β为锐角，且a＝(sinα，－cosα)，b＝(－cosβ，sinβ)．a＋b＝66，22.求cos(α＋β)．21．(12分)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＋2cos2x，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin2x的图像经过怎样的变换得到？22．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0φπ2，求cosφ的值．答案及解析1.解析∵2kπ－π2α2kπ(k∈Z)，∴kπ－π4α2kπ(k∈Z)．∴α2为第二或第四象限的角．∴tanα20.答案C2.解析设P在x轴上的射影为M，由三角函数线，知点P的横坐标OM＝cosα，纵坐标MP＝sinα，因此，点P的坐标为(cosα，sinα)．答案B3.解析∵a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，∴|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4×1－4×0＋4＝8.∴|2a－b|＝22.答案B4.解析AB→＋AC→＝PB→－PA→＋PC→－PA→＝PB→＋PC→－2PA→＝λAP→，∴PB→＋PC→＝(λ－2)AP→.又PB→＋PC→＝－PA→＝AP→，∴(λ－2)AP→＝AP→，∴λ－2＝1，∴λ＝3.答案B5.解析由已知，得(OA→－OB→)＋2(OC→－OB→)＝0，即BA→＋2BC→＝0.∴BA→＝－2BC→，∴|AB→||BC→|＝2.答案D6.解析∵a∥b，∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0，即cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝kπ＋π2(k∈Z)，令k＝0，得α＋β＝π2.答案B7.解析∵sin2A＝2sinAcosA＝23，∴(sinA＋cosA)2＝sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝1＋23＝53.又∵在△ABC中，2sinAcosA＝230，∴∠A为锐角．∴sinA＋cosA0.∴sinA＋cosA＝153.答案A8.解析a·b＝|a||b|cos30°＝2sin15°·4cos15°·cos30°＝2sin60°＝3.答案C9.解析由sinx＋cosxsinx－cosx＝2，得sinx＋cosx＝2(sinx－cosx)，两边平方，得1＋2sinxcosx＝4(1－2sinxcosx)，∴sinxcosx＝310.答案D10.解析∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x＝π2时，f(x)有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，φ＝π3＋2kπ(k∈Z)．∵－πφ≤π，∴φ＝π3，∴f(x)＝2sinx3＋π3，由函数图像，易得在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数，故选A.答案A11.解析由图像可知此正切函数的半周期等于3π8－π8＝14π，故函数的周期为π2，所以ω＝2.从题中可以知道，图像过定点3π8，0，所以0＝Atan2×3π8＋φ，即34π＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－3π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4，再由图像过定点(0,1)，所以A＝1，综上可知f(x)＝tan2x＋π4，故有fπ24＝tan2×π24＋π4＝tanπ3＝3.答案B12.解析根据题意，可知若a与b共线，可得mq＝np，∴a⊙b＝mq－np＝0，∴A正确．∵a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不等，∴B错误．对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，∴C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，∴D正确．答案B13.解析a⊥b⇒a·b＝0⇒log2x－2＝0，∴x＝4.答案414.解析在▱ABCD中，AD→＝BC→，∴OD→－OA→＝OC→－OB→.∴OD→＝OA→＋OC→－OB→＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．答案(0，－2)15.解析观察易知T＝－π3－(－π)＝2π3，∴2π|ω|＝2π3，又ω0，∴ω＝3.答案316.解析f(x)－g(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－π4)≤2，故①为真命题；当x∈－π2，0时，函数f[h(x)]＝sinx＋π3为增函数，故②为真命题；函数g[f(x)]＝cos(sinx)的最小正周期为π，故③为假命题；将函数f(x)的图像向左平移π2个单位可得g(x)的图像，故④为假命题．答案①②17.解(1)∵f(x)＝3sin2x－2sin2x＝3sin2x－(1－cos2x)＝232sin2x＋12cos2x－1＝2sin(2x＋π6)－1，∴当2x＋π6＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π6(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1.(2)解法1：由(1)及f(x)＝0，得sin2x＋π6＝12，∴2x＋π6＝2kπ＋π6，或2x＋π6＝2kπ＋5π6，即x＝kπ，或x＝kπ＋π3(k∈Z)．故函数f(x)的零点集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋π3，k∈Z}．解法2：由f(x)＝0，得23sinxcosx＝2sin2x，于是sinx＝0，或tanx＝3.由sinx＝0，得x＝kπ(k∈Z)；由tanx＝3，得x＝kπ＋π3(k∈Z)．故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋π3，k∈Z}．18.解(1)f(x)＝2cosxsinxcosπ3＋cosxsinπ3－32＝2cosx12sinx＋32cosx－32＝12sin2x＋32(1＋cos2x)－32＝sin2x＋π3，∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)列表：2x＋π30π2π3π22πX－π6π12π37π125π6f(x)010－10描点连线，如图所示．19.解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝2x＋3－x2＝0.即x2－2x－3＝0，解得x＝－1，或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0，或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－22＋02＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋－42＝25.20.解由a＝(sinα，－cosα)，b＝(－cosβ，sinβ)，得a＋b＝(sinα－cosβ，－cosα＋sinβ)．又a＋b＝66，22，∴sinα－cosβ＝66，cosα－sinβ＝－22.二式平方相加，得2－2sin(α＋β)＝23，∴sin(α＋β)＝23.又α，β为锐角，且sinαcosβ，∴sinαsinπ2－β，∴απ2－β⇒π2α＋βπ.∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－53.21.解(1)f(x)＝1－cos2x2＋32sin2x＋(1＋cos2x)＝32sin2x＋12cos2x＋32＝sin2x＋π6＋32，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由题意得2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，即kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，∴f(x)的单调增区间为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z.(2)先把y＝sin2x图像上所有的点向左平移π12个单位长度，得到y＝sin2x＋π6的图像，再把所得图像上所有的点向上平移32个单位长度，就得到y＝sin2x＋π6＋32的图像