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1数学网继【小学数学趣题巧算百题百讲百练】系列后又最新推出【小学数学解题思路大全】系列！本系列包括式题的巧解妙算、巧想妙算文字题、巧想妙算填充、判断、选择题、巧想妙算数的基本知识题、巧解整除问题、巧想妙算应用题、巧想妙算初步几何知识题等几部分，几乎囊括了所有类型的例题及解题思路。数学网将会为广大数学爱好者、小学生和家长提供更多的资源。欢迎大家提供意见和建议，积极参与，共同进步！1.特殊数题(1)21－12当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如210－120＝(2－1)×90＝90，0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。(2)31×51个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。若十位数字的和满10，进1。如证明：(10a＋1)(10b＋1)＝100ab＋10a＋10b＋1＝100ab＋10(a＋b)＋12(3)26×8642×62个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。证明：(10a＋c)(10b＋c)＝100ab＋10c(a＋b)＋cc＝100(ab＋c)＋cc(a＋b＝10)。(4)17×19十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323证明：(10＋a)(10＋b)＝100＋10a＋10b＋ab＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。(5)63×69十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。原式＝(63＋9)×6×10＋3×9＝72×60＋27＝4347。证明：(10a＋c)(10a＋d)＝100aa＋10ac＋10ad＋cd＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。(6)83×873十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如证明：(10a＋c)(10a＋d)=100aa＋10a(c＋d)＋cd＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。(7)38×22十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。原式＝(30＋8)×(30－8)＝302－82＝836。(8)88×37被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。(9)36×15乘数是15的两位数相乘。被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。＝54×10＝540。455×15(10)125×101三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。原式＝12625。再如348×101，因为348＋3＝351，原式＝35148。(11)84×49一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。原式＝8400÷2－84＝4200－84＝4116。(12)85×99两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。原式＝8500－85＝8415不难看出这类题的积：最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；最低位上的两位数，是100与被乘数的差；中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。5证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则如果被乘数的个位数是1，例如31×999在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。71×9999＝709999－70＝709929。这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。(13)1÷19这是一道颇为繁复的计算题。原式＝0.052631578947368421。根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：(1)先用0.1÷2＝0.05。(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除6如此除到循环为止。7仔细分析这个算式：加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。除数末位是9，都可用此法计算。例如1÷29，用0.1÷3计算。1÷399，用0.1÷40计算。2.估算数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”(1)最高位估算只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。例11137＋5044－3169最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。8如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。例351.9×1.51整体思考。因为51.9≈50，而50×1.51≈50×1.5＝75，又51.9＞50，1.51＞1.5，所以51.9×1.51＞75。另外9×1＝9，所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。例43279÷79把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。(2)最低位估算例如，6403＋232＋15783＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。(3)规律估算和大于每一个加数；两个真分数(或纯小数)的和小于2；一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；9奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；差总是小于被减数；整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积；例如，A＜AB＜B。奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；若除数＜1，则商＞被除数；若除数＞1，则商＜被除数；10若被除数＞除数，则商＞1；若被除数＜除数，则商＜1。(4)位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；例如，451×7103最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；例如，147342÷2714不够27除，商是4－2＝2(位数)。被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。例如，30226÷238302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。(5)取整估算把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。12×8.5≈10×10，积接近100。3.并项式应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。例13.34＋12.96＋6.66＝12.96＋(3.34＋6.66)11＝12.96＋10＝22.96＝3－3＝0例315.74－(8.52＋3.74)＝15.74－3.74－8.52＝12－8.52＝3.48例41600÷(400÷7)＝1600÷400×7＝4×7＝28数学网继【小学数学趣题巧算百题百讲百练】系列后又最新推出【小学数学解题思路大全】系列！本系列包括式题的巧解妙算、巧想妙算文字题、巧想妙算填充、判断、选择题、巧想妙算数的基本知识题、巧解整除问题、巧想妙算应用题、巧想妙算初步几何知识题等几部分，几乎囊括了所有类型的例题及解题思路。数学网将会为广大数学爱好者、小学生和家长提供更多的资源。欢迎大家提供意见和建议，积极参与，共同进步！4.提取式根据乘法分配律，可逆联想。＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4＝4125.合乘式＝87.5×10×1＝875＝8－7＝16.扩缩式例11.6×16＋0.4×36＝0.4×(64＋36)＝0.4×100＝40例216×45137.分解式例如，14×72＋42×76＝14×3×24＋42×76＝42×(24＋76)＝42×100＝42008.约分式＝3×7×2＝42例2169÷4÷7×28÷1314=1988例71988198819881988÷1989198919891989被除数与除数，分别除式10.拆积式例如，32×1.25×25＝8×1.25×(4×25)＝10×100＝100011.换和式例10.1257×8＝(0.125＋0.0007)×8＝1＋0.0056＝1.005615例48.37－5.68＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)＝8.69－6＝2.6912.换差式1613.换乘式例1123＋234＋345＋456＋567＋678＝(123＋678)×3＝801×3＝2403例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25＝6.72×(4×25)＝672例345000÷8÷125＝45000÷(8×125)＝45000÷1000＝45例49.728÷3.2÷25＝9.728÷(0.8×4×25)＝9.728÷80＝0.9728÷8＝0.1216例533333×33333＝11111×99999＝11111×(100000－1)＝1111100000－11111＝1111088889综合应用，例如17＝1000＋7＝1007＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转)＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)＝8×125.25＝8×(125＋0.25)(拆)＝8×125＋8×0.25＝100214.换除式例如，5600÷(25×7)＝5600÷7÷25＝800÷25＝3215.直接除17.以乘代加例17＋4＋5＋2＋3＋618＝9×3＝27如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。18.以乘代减知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)