计量经济学一些结论和证明

一些有用的结论和证明12tttYBBXu12ttYBBX12tttYbbXe12ttYbbX12ttteYbbX一、一元线性回归模型的参数最小二乘估计量的推导：对于总体回归模型和总体回归函数：其样本回归模型和样本回归函数，由样本回归模型得到：12212,()ttbbMinYbbX21212()0ttteYbbXb21222()0tttteYbbXXb最小二乘估计量的求解过程可以归结为如下问题：122,tbbMine即：求解该问题，有如下一阶条件：续上：122222221,,1()ttttttttttttttttbYbXXYXYXYnXYxynbxXXyYYXnXxXXn其中，1212()0()0tttttYbbXYbbXX化简得到如下正规方程：由正规方程得到如下解：续上：二、残差一些特性的证明1.样本回归线过样本均值点，即有：证明：根据第一个正规方程就可以得到以上结论。证毕2.证明：12YbbX/0ieen0)()ˆ(2121iiiiiiiXbnbYXbbYYYe以上结论，用到了第一个正规方程。证毕续上0iieXˆ0iieY3.证明：12()0iiiiieXYbbXX1212ˆ()0iiiiiiieYebbXbebeX以上结论用到了第二个正规方程证毕4.证明：证毕三、证明最小二乘估计量是最优线性无偏估计量：1.线性（1）关于b2。证：22222ttttttttttttttxyxYbxxxYxxcYcx其中，由于ct是非随机变量，所以b2是关于Yt的线性函数。21212()ttttttttttbcYcBBXucBcBXcu又由于：所以，b2也是ut的线性函数。续上：(2)关于b1。证：121()1ittttttttbYbXYXcYnXcYnDYDXcn其中，所以，b1也是Yt的线性函数。又由于，11212()ttttttttttbDYDBBXuDBDBXDu所以，b1也是ut的线性函数。续上：2.无偏性(1)关于b2。2121212122()(())()(())0ttttttttttttttttEbEcBBXuEBcBcXcuBcBcXcEuBcBcXB由此可知，b2是B2的无偏估计量。(2)关于b11121212121()(())()(())0ttttttttttttttttEbEDBBXuEBDBDXDuBDBDXDEuBDBDXB所以，b1是B1的无偏估计量。3.有效性首先求解b1和b2的方差112122222222211223312121313222212()(())(())(())(())(())00((()()))()()()()0ttttttttttttttttijijiVarbVarDYVarDBBXuVarBDVarBDXVarDuEDuEDuEDuEDuDuDuEDDuuDDuuDDuuDDD2222222221()ttttDXnxxnXnx续上：因为2222222()2ttttxXXXnXnXXnX所以2212()ttXVarbnx续上：21212222222()()(())()()()00(())ttttttttttttttVarbVarcYVarcBBXuVarBcVarBcXVarcucEucx有效性证明假定、是用其他计量经济方法得到的任一组线性无偏估计量，下面证明最小二乘估计量满足1b2b(1)关于b2由于是一元线性回归模型的线性无偏估计量，令1122()()()()VarbVarbVarbVarb2b2ttbY其中,1,2,,ttntttcg。不是一般性，令。这里2tttxcx。续上：于是21212()ttttttttbBBXuBBXu由于是的无偏估计量，所以，由此可知21212()()ttttttttEbEBBXuBBX2b2B22()EbB0t1ttX，而()tttttcgcgttttttXcXgX续上：又由于0,1tttcgX因此0,0tttggX由于22ttbBu所以2222()()tttVarbVarBu222222222222()222ttttttttttttttttttttcgcgcgxgcgxXgXgcgxcg续上：而因此22222222222()()()tttttVarbcggxVarbg所以22()()VarbVarb(2)关于b1其证明和b2类似。四、关于判定系数和相关系数之间的关系2rr根据判定系数的定义知道：22222ˆˆˆ()()(1)()iiiiYYYYrYYyYYˆ其中有：1212ˆˆiiYbbXYbbX又知：2ˆˆ()iiYYbx把上式带入（1）式得到：22222(2)iibxry又知：22iiixyxb将带入（2）式可得到：2b2222)(iiiiyxyxr