1.1--集合及其表示法

1.1集合及其表示法1.集合的概念在现实生活和数学中，我们常常把一些对象放在一起，作为一个整体来研究.例如：（1）某校高中一年级全体学生；（2）某次足球联赛参赛队的全体；（3）平面上到定点距离等于定长的点的全体；（4）所有的锐角三角形；（5）一个正方形ABCD内部的点的全体；（6）1,3,5,7,9；（7）不等式320x的解的全体.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集.集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的.也就是说，任何一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一.例如，王老师不是某校高中一年级全体学生组成的集合的元素.又如，一个等边三角形是所有锐角三角形组成的集合的一个元素.对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的.也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象.集合中的元素不重复出现.集合常用大写字母A、B、C、…表示，集合中的元素用小写字母a、b、c、…表示.如果a是集合A的元素，就记作aA，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作aA，读作“a不属于A”.例如，设由1,3,5,7,9组成的集合为A，那么3A，2A.数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包括零的自然数组成的集合，记作*N；全体整数组成的集合即整数集，记作Z；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q；全体实数组成的集合即实数集，记作R.我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z、Z、Q、Q、R、R.数学家简介康托尔（G.Cantor，1845—1918）德国数学家、集合论创始人.1871年他给集合的说明是：“把一定的并且彼此可以明确识别的事物——这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象——放在一起，叫做一个集合，这些事物的每一个叫做该集合的一个元素”.集合的元素具有确定性，且具有互异性和无序性.从上面7个例子可以看出，有些集合，如（1）、（2）、（6），它们都只含有有限个元素；而有些集合如（3）、（4）、（5）、（7），它们都含有无限个元素.我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.我们引进空集，规定空集不含元素，记作.例如，方程210x的实数解所组成的集合是空集.又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集.2.集合的表示方法集合的表示方法常用列举法和描述法.将集合中的元素一一列出来（在列举时不考虑元素的顺序），并且写在大括号内.这种表示集合的方法叫做列举法.例如，方程2560xx的解的集合，可表示为2,3，也可表示为3,2；又如方程组51xyxy的解组成的集合可表示为(2,3).在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即Axx满足性质p，这种表示集合的方法叫做描述法.例如，方程2560xx的解集可表示为2560xxx；又如直线1xy上的点组成的集合，可以表示为(,)1xyxy.【例1】用符号、填空：（1）00；（2）0；（3）0N；（4）0Z；（5）2Q；（6）2Z.【解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.思考：再举出一些有限集与无限集的例子.注意：2,3与(2,3)的区别.注意：集合A中元素都具有性质p，而且凡具有性质p的元素都在集合A中.【例2】用适当的方法表示下列集合：（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A；（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B；（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C.【解】（1）用列举法：2,4,6A；（2）用描述法：32,BxxkkN；（3）用描述法：(,)0Cxyx且0,,yxRyR.【练习1.1】1、判断下列各组对象能否构成集合.若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，请你说明理由.（1）上海市各区县的名称；（2）末位数是3的自然数；（3）我们班身高大于1.70米的同学.【解】（1）能，有限集；（2）能，无限集；（1）能，有限集.2、用符号、填空：（1）12*N；（2）1Z；（3）2R；（4）2N；（5）3Q；（6）1.【解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.3、用列举法表示下列集合：（1）组成中国国旗的颜色名称的集合；（2）绝对值小于4的整数组成的集合.【解】（1）,红色黄色；（2）01，，2，3.问题：哪些集合用列举法表示较适合？哪些集合用描述法表示较合适？4、用描述法表示下列集合：（1）偶数组成的集合；（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合.【解】（1）2,xxkkZ；（2）(,)0xyx且0,,yxRyR.【典型例题】1、下列叙述语句能够组成集合的是（）（A）近似等于0的实数；（B）我校全面发展的同学；（C）所有相当大的实数；（D）方程2210xx的实数解.【解】（A）、（B）、（C）都不能构成集合，因为它们研究的对象都不确定，不符合集合的确定性.（D）可以构成集合，每个满足这个方程的实数是这个集合的元素，而不满足这个方程的实数都不是这个集合的元素，综上选择（D）.2、在直角坐标系中表示点(2,3)和(2,4)的集合是（）（A）11222,3,2,4Mxyxy；（B）12(,)2,3,4Nxyxyy；（C）(,)(2,3),(2,4)Sxy；（D）2,3,2,4T.【解】集合M中的元素是4个方程，集合N中的元素是4个有序实数对，集合T中的元素是4个实数，只有集合S中的元素是符合题目要求的两个有序实数对，综上选择（C）.3、已知(,)5,*,*AxyxyxNyN，试用列举法表示集合A.【解】(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)A.4、用适当的方法表示下列集合，然后说出它是有限集还是无限集.（1）所有小于10的合数所组成的集合；（2）当1,0,1x时，函数221yx的值的集合；（3）所有被3除余1的数所组成的集合.【解】（1）用列举法：4,6,8,9，有限集；（2）用列举法：1,3，有限集；（3）用描述法：31,xxkkZ，无限集.5、用符号、填空：（1）若2320Axxx，则1A；（2）若235Bxx，则2B；（3）若(,)23Cxyyx，则(1,5)C；（4）若1121,2,3D，，，，则1D，1D；（5）若240ExxxR，，则0E；【解】（1）；（2）；（3）；（4），；（5）.6、已知2(1)0Axxpxq，20Bxxpxq，当2A时，求B.【解】由题意可知2(1)0xpxq有两个相等的根122xx，1212(1)4344xxppxxqq，则20xpxq即为2340xx，方程无解，B.7、已知集合2310,AxaxxxR.（1）若A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.【解】（1）①当0a时，方程为310x，13x，13A，满足条件.②当0a时，原方程为一元二次方程，A中只有一个元素，940a，94a.综上所述，0a或94a.（2）由题意，A中的元素情况为只有一个元素或没有元素两种情况.当A中只有一个元素时，由（1）得0a或94a.当A中无元素时，由（1）得0a，且此时一元二次方程无解，940a，即94a.综上所述，0a或94a.8、设数集A满足：若xA，则11Ax，且1x，证明：（1）若2A，则A还有另外两个元素；（2）若xA，则11Ax.【解】（1）由题意，若2A，则1112A，由1A，得111(1)2A，由12A，得12112A，往后结果重复出现，由集合元素的互异性知A中只有12,1,2三个元素，除了2以外还有另外两个元素；（2）若xA，则11Ax，则111111111xAxxx，得证.9、已知数集A及定义在该数集上的某个运算（记为“”）.如果对一切aA，bA，都有ababA，那么就说集合A对运算“”是封闭的.（1）设2,,AxxpqpqZ，判断A对运算“”是否封闭？（2）设2,,,0BxxpqpqZq，判断B对运算“”是否封闭？【解】（1）任取,abA，则必存在,,,mnpqZ，使得2amn，2bpq，而(2)(2)22()abmnpqmpnqnpmq，,,,mnpqZ，2mpnqZ，npmqZ，abA，A对运算“”是封闭的；（2）B对运算“”不是封闭的，举反例：若12a，12b，则,abB，而1abB，不满足定义.【高考真题】1、设3,PxxmmZ，31,QxxmmZ，31,SxxmmZ，且aP，bQ，cS，设dabc，则有（）（A）dP；（B）dQ；（C）dS；（D）dP或dQ.【解】aP，3am，mZ，bQ，31bn，nZ，cS，31cl，lZ，则3()23(1)1abcmnlmnl，,,mnlZ，mnlZ，1mnlZ，abcS，即dS，选（C）.2、定义集合运算：(),,ABzzxyxyxAyB，设0,1A，2,3B，则集合AB的所有元素之和为（）（A）0；（B）6；（C）12；（D）18.【解】0x，2y时，0z；0x，3y时，0z；1x，2y时，23=6z；1x，3y时，34=12z；0,6,12AB，选（D）.