2019届高考数学(理科)一轮复习讲义：函数的概念及其性质

2019届高考数学（理科）一轮复习讲义：函数的概念及其性质函数的概念及其性质知识点一、函数的基本概念1、函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B2、函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3、表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4、分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．小题速通1、若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()2、下列函数中，与函数y＝x相同的函数是()A．y＝x2xB．y＝(3x2)32C．y＝lg10xD．y＝2log2x3、已知函数f(x)＝log12x，x1，2＋16x，x≤1，则ff14＝()A．－2B．4C．2D．－14、已知f12x－1＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于()A.74B．－74C.43D．－43易错点1、解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2、易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．1、(2018·合肥八中模拟)已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则()A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)2、下列对应关系：①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．其中是A到B的映射的是()A．①③B．②④C．③④D．②③知识点二、函数定义域的求法函数y＝f(x)的定义域小题速通1、函数f(x)＝1－|x－1|ax－1(a＞0且a≠1)的定义域为________．2、函数y＝lg(1－2x)＋x＋3的定义域为________．易错点1、求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.2、求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围.1、(2018·辽宁锦州模拟)已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，则f(x)的定义域为________．2、已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋8－2x的定义域为________．知识点三、函数的单调性与最值1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2、函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值小题速通1、(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝2－xB．y＝xC．y＝log2xD．y＝－1x2、函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)3、(2018·长春质量检测)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)4、已知定义在R上的函数f(x)为增函数，当x1＋x2＝1时，不等式f(x1)＋f(0)f(x2)＋f(1)恒成立，则实数x1的取值范围是()A．(－∞，0)B.0，12C.12，1D．(1，＋∞)5、函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．易错点1、易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2、若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1x.1、函数f(x)＝x1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数2、设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．知识点四、函数的奇偶性1、定义及图象特征奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．小题速通1、下列函数中的偶函数是()A．y＝2x－12xB．y＝xsinxC．y＝excosxD．y＝x2＋sinx2、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝3x－1，则f(9)＝()A．－2B．2C．－23D.233、(2018·绵阳诊断)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，234、若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则()A．函数f(x)－g(x)是奇函数B．函数f(x)·g(x)是奇函数C．函数f[g(x)]是奇函数D．函数g[f(x)]是奇函数易错点1、判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2判断分段函数奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．1、已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则()A．f(m)f(1)B．f(m)f(1)C．f(m)＝f(1)D．f(m)与f(1)大小不能确定2、函数f(x)＝log2x，x0，log2－x，x0的奇偶性为________．知识点五、函数的周期性1、周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2、最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．3、重要结论周期函数的定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝1fx，f(x＋a)＝－1fx(a0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．4、对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．小题速通1、已知函数f(x)＝sinx4π，x0，fx＋2，x≤0，则f(－5)的值为()A．0B.22C．1D.22、已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝()A．0B．1C．－1D．23、(2018·晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2017)＝________.易错点在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式f（x＋T）＝f（x）（T≠0）的使用而致误.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f（x），当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.过关检测练习一、选择题1．函数f(x)＝lg(x－1)－4－x的定义域为()A．(－∞，4]B．(1,2)∪(2,4]C．(1,4]D．(2,4]2．(2017·唐山期末)已知f(x)＝x＋1x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝()A．－4B．－2C．－1D．－33．设函数f(x)＝x，x≥0，－x，x0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a的值为()A．－3B．±3C．－1D．±14．下列几个命题正确的个数是()(1)若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正根，一个负根，则a0；(2)函数y＝x2－1＋1－x2是偶函数，但不是奇函数；(3)函数f(x＋1)的定义域是[－1,3]，则f(x2)的定义域是[0,2]；(4)若曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1.A．1B．2C．3D．45．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥26．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝exC．f(x)＝1xD．f(x)＝ln(x＋1)7．已知函数f(x)＝log13(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C.－12，2D.－12，28．(2018·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x＋1x2＋1，若f(a)＝23，则f(－a)＝()A.23B．－23C.43D．－43二、填空题9．f(x)＝asinx－blog3(x2＋1－x)＋1(a，b∈R)，若f(lg(log310))＝5，则f(lg(lg3))＝________.10．设a为实常数，y