高中数学立体几何讲义(一)

平面与空间直线(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）AaAa点A在直线a上。AaAa点A不在直线a上。AA点A在平面内。AA点A不在平面内。baAabA直线a、b交于A点。aaØ直线a在平面内。aa直线a与平面无公共点。aAaA直线a与平面交于点A。l平面、相交于直线l。a（平面外的直线a）表示a或aA。2、平面的基本性质公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内奎屯王新敞新疆推理模式：AABBØ。如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。BA公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推理模式：AlA且Al且l唯一奎屯王新敞新疆如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．解：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β．又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设ABCD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．又∵αβ＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推理模式：,,ABC不共线存在唯一的平面，使得,,ABC。应用：①确定平面；②证明两个平面重合。例3．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，αDCBAEFHGαDCBAl例2βM但Ad，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推理模式：Aa存在唯一的平面，使得A，lØ。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推理模式：Pba存在唯一的平面，使得,abØ。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。推理模式：//ab存在唯一的平面，使得,abØ。练习：1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1的中，A1C1B1D1＝O1，B1D平面A1BC1＝P．求证：P∈BO1．证明在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，αbadcGFEA图1abcdαHK图2∵B1D平面A1BC1＝P，∴P∈平面A1BC1，P∈B1D．∵B1D平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P∈平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D，∵A1C1B1D1＝O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D．又B∈平面A1BC1，且B∈平面BB1D1D，∴平面A1BC1平面BB1D1D＝BO1．∴P∈BO1说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。（Ⅱ）、空间两条直线1、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点；2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：//,////abbcac。3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。5、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：,,,ABlBlAB与l是异面直线。异面直线的判定方法：①判定定理；②定义法；③反证法是证明两直线异面的有效方法。例1．已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，aA，aB，bC，cD，求证：AD与BC是异面直线．证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。A1ABB1DD1CC1O1PPABCDbca证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。6、异面直线所成的角：已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线//,//aabb，,ab所成的角的大小与点O的选择无关，把,ab所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：]2,0(。7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,ab垂直，记作ab。8、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。向量法：用向量的夹角公式。例2．在正方体ABCD''''DCBA中，M、N分别是棱'AA和AB的中点，P为上底面ABCD的中心，则直线PB与MN所成的角为（A）()A300()B450()C600()D例3．一条长为cm2的线段AB夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为045，与所成角为030，且l，lAC，lBD，C、D是垂足，求（1）CD的长；（2）AB与CD所成的角解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450，Rt△ACB中，BC=AB·cos300=3，在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=2在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=3，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=33。ACEGFDBαβ9、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线。理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：①几何法；②向量法。例4．在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为___．（答案：a22）例5．两条异面直线a、b间的距离是1cm，它们所成的角为600，a、b上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为_______．答案：cmcm301101或练习：1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．证明：如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连结B1D1，A1C1，BD，AC．设B1D1A1C1＝M，BDAC＝N．∴M，N分别是B1D1，AC的中点．连结BM，D1N．∵BB1∥DD1，且BB1＝DD1，∴四边形BDD1B1是平行四边形．在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD1N＝O1，在平行四边形BDD1B1中，∵D1M∥NB，且D1M＝NB，∴四边形BND1M是平行四边形．∴BM∥ND1，即OM∥O1D1，∴O是BO1的中点，即O1O＝OB1．同理，OO1＝O1D．∴O1O＝OB1＝O1D．综上，OB1∶OD1＝1∶2．2．如图，已知平面α、β交于直线l，AB、CD分别在平面α，β内，且与l分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由．证明：直线AB，CD不能平行．否则，若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．∴AB，CDγ．∴ABα，D∈γ．由题知，ABα，D∈α，且DAB，根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．A1ABB1DD1CC1OBCDAαβlA1ABB1DD1CC1图1MONO1同理，β与γ重合．∴α与β重合，这与题设矛盾．∴AB，CD不能平行．3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．证明：假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．设直线CD1与BC1共面α．∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α．∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，∴C，B，C1∈平面BB1C1C．∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．基础巩固训练1、下列推断中，错误的是（）。CA．lBlBAlA,,,B．ABBBAA,,,C．AlAl,D．CBACBA,,,,,，且A、B、C不共线,重合2、判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”。（1）空间三点可以确定一个平面（）。（2）两条直线可以确定一个平面（）。（3）两条相交直线可以确定一个平面（）。（4）一条直线和一个点可以确定一个平面（）。（5）三条平行直线可以确定三个平面（）。（6）两两相交的三条直线确定一个平面（）。（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）。（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）。⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√。3、