历届全国初中数学联赛真题及答案

1991年全国初中数学联赛试题一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是（A）3；（B）31；（C）2；（D）35．答（）２．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．答（）３．方程012xx的解是（A）251；（B）251；（C）251或251；（D）251．答（）４．已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是（Ａ）11991；（Ｂ）11991；（Ｃ）1991)1(n；（Ｄ）11991)1(n．答（）５．若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么dcba的最大值是（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC中，1AC，cAB，60A，ΔABC的外接圆半径R≤1，则（Ａ）21c2；（Ｂ）0c≤21；答（）（C）c2；（D）c=2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．２．已知关于x的一元二次方程02cbxax没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，acb32．3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x０，qpnmxxxx)1(1)1(恒成立，则qpnm22)2(．４．四边形ABCD中，∠ABC135，∠BCD120，AB6，BC35，CD=6，则AD=．11S3S=132S120135第二试x+y，x－y，xy，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1abba的非负整数),(ba的个数是(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.2.若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根,则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是(A)M(B)=M(C)M;(D)不确定.3.若01132xx,则44xx的个位数字是(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.答()4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.答()5.如图,正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0(kxky的图像分别相交于A点和C点.若AOBRt和COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(A)21SS(B)21SS(C)21SS(D)不确定答()6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S,则21SS的整数部分是(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.答()7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,60A,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.则AE:EB等于(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:10答()8.设9321,,,,xxxx均为正整数,且921xxx,220921xxx,则当54321xxxxx的值最大时,19xx的最小值是(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.答()二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0x,则xxxx44211的最大值是__________.3.在ABC中,BAC和,90的平分线相交于P点，又ABPE于E点，若3,2ACBC，则EBAE.4.若ba,都是正实数，且0111baba，则33)()(baab.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062axx的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.二、如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ACEDBED2.求证：CDBD2.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612xx除以12x的余式是(A)1;(B)-1;(C)1x;(D)1x;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x是实数,11xxy.下列四个结论:Ⅰ.y没有最小值;Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.其中正确的是(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ4.实数54321,,,,xxxxx满足方程组.;;;;52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中54321,,,,aaaaa是实常数,且54321aaaaa,则54321,,,,xxxxx的大小顺序是(A)54321xxxxx;(B)53124xxxxx;(C)52413xxxxx;(D)24135xxxxx.5.不等式73)1(12xxx的整数解的个解(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于56.在ABC中,BCAOOA,,是垂心是钝角,则)cos(OCBOBC的值是(A)22(B)22(C)23(D)21.答()7.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:n:p等于(A)cba1:1:1;(B)cba::(C)CBAcos:cos:cos(D)CBAsin:sin:sin.答()8.13333)919294(3可以化简成(A))12(333;(B))12(333(C)123(D)123答()二.填空题1.当x变化时,分式15632212xxxx的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.4.锐角三角形ABC中,30A.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,则S1:S2=___________.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积HBCABCSS的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程0022bcxxcbxx及分别各有两个整数根21,xx及21,xx,且,021xx021xx.(1)求证:;0,0,0,02121xxxx(2)求证:1b≤c≤1b;(3)求cb,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕()2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕()3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕()A．1B．-1C．22001D．-22001〔答〕()5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕()〔答〕()7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是〔答〕()A．1001B．1001,3989C．1001,1996D．1001,1996,3989〔答〕()二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______.4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.第二试(4月3日上午10：00—11：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分.一、（本题满分20分）如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。二、（本题满分20分）周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.n0123……12131415做对n个题的人数781021……15631如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10