回归分析的基本知识点及习题

回归分析的基本知识点及习题本周难点：（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.（4）残差变量的解释；（5）偏差平方和分解的思想；１．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。建立回归模型的基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.③由经验确定回归方程的类型.④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.4.残差变量的主要来源：（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这种由于模型近似所引起的误差包含在中。（2）忽略了某些因素的影响。影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。（3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。二、例题选讲1为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：家庭编号12345678910xi（收入）千元0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi（支出）千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程.解（1）作出散点图：观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系.（2）=(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42，=≈0.8136，=1.42-1.74×0.8136≈0.0043，∴回归方程=0.8136x+0.0043.2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？解（1）散点图如下图:（2）==4.5,==3.5=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.=32+42+52+62=86∴===0.7=-=3.5-0.7×4.5=0.35.∴所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.（3）现在生产100吨甲产品用煤y=0.7×100+0.35=70.35，∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.3科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.年平均气温12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量748542507813574701432（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系.解（1）作出散点图如图所示，x101y101bˆniiniiixnxyxnyx1221aˆyˆyˆbˆaˆx46543y45.4435.241iiiyx412iixbˆ24124144xxyxyxiiiii25.44865.45.345.66aˆybˆxyˆ(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.4在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度(x)010205070溶解度（y)66.776.085.0112.3128.0由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程.解=30,==93.6.=≈0.8809.=-=93.6-0.8809×30=67.173.∴回归方程为=0.8809x+67.173.5.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份产量（千件）单位成本（元）127323723471437354696568（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？解（1）n=6，=21，=426，=3.5,=71,=79，=1481，===-1.82.=-=71+1.82×3.5=77.37.回归方程为=+x=77.37-1.82x.（2）因为单位成本平均变动=-1.82＜0,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意义有:产量每增加一个单位即1000件时,单位成本平均减少1.82元.(3)当产量为6000件时,即x=6,代入回归方程:=77.37-1.82×6=66.45（元）当产量为6000件时，单位成本为66.45元.1.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是.xy50.1283.1120.850.767.66bˆ25125155xxyxyxiiiiiaˆybˆxyˆ61iix61iiyxy612iix61iiiyxbˆ26126166xxyxyxiiiii25.3679715.364811aˆybˆxyˆaˆbˆbˆyˆ答案a,c,b2.回归方程=1.5x-15,则下列说法正确的有个.①=1.5-15②15是回归系数a③1.5是回归系数a④x=10时，y=0答案13.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为=8.25x+60.13,下列叙述正确的是.①该地区一个10岁儿童的身高为142.63cm②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25cm③该地区9岁儿童的平均身高是134.38cm④利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高答案②4.某人对一地区人均工资x(千元）与该地区人均消费y(千元）进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程=0.66x+1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为.答案83%5.某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得=52,=228,=478,=1849,则其线性回归方程为.答案=11.47+2.62x6.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是.答案①③④7.已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元），有如下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程=x+表示的直线一定过定点.答案（4，5）二、解答题8.期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表：学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？（2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点.解（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系.（2）以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下：由散点图可以看出，物理成绩和数学成绩对应的点不分散，大致分布在一条直线附近.9.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x（m2)11511080135105销售价格y(万元）24.821.618.429.222yˆyxyˆyˆ81iix81iiy812iix81iiiyxyˆyˆbˆaˆ（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线.解（1）数据对应的散点图如图所示：（2）=109,=23.2,=60975,=12952,=≈0.1962=-≈1.8142∴=0.1962x+1.8142.10.某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据：x10151720252832y11.31.822.62.73.3（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润.解（1）散点图如图所示：（2)=(10+15+17+20+25+28+32)=21,=(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,=102+152+172+202+252+282+322=3447,=10×1+15×1.3+17×1.8+20×2+25×2.6+28×2.7+32×3.3=346.3,==≈0.104,=-=2.1-0.104×21=-0.084,∴=0.104x-0.084.(3)把x=24(千万元）代入方程得，=2.412（千万元）.∴估计销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元.11某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:x24568y3040605070（1）画出散点图；xy512iix51iiiyxbˆ25125155xxyxyxiiiiiaˆybˆxyˆx71y71712iix71iiiyxbˆ27127177xxyxyxiiiii221744731.22173.346aˆybˆxyˆyˆ（2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解（1）根据表中所列数据可得散点图如下：（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，==5,==50,=145,=13500,=1380.于是可得：===6.5;=-=50-6.5×5=17.5.因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5.（3）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元.独立性检验的基本知识点及习题本周内容：一、基础知识梳理1.独立性检验利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。2.判断结论成立的可能性的步骤：x525y5250512iix512iiy51iiiyxbˆ25125155xxyxyxiiiii55514550553801aˆybˆxyˆyˆ（1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。二、例题选讲例1.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，