高中数学-圆锥曲线知识点小结

1《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：||221FFa表示椭圆；||221FFa表示线段21FF；||221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay图形顶点),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA),0(),,0()0,(),0,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）通径22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆)0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交椭圆于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设椭圆)0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQxOF1F2PyA2B2B1xOF1F2PyA2A1B1B2A12二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2||||21与aPFPF2||||12（||221FFa）表示双曲线的一支。||221FFa表示两条射线；||221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),,0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线xabyxbay通径22ba（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222byax，因式分解得到0xyab。②与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；xOF1PB2B1F2xOF1F2PyA2A1y3（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交双曲线的同一支于BA,两点，则2ABF的周长=（2）设双曲线)0,0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p焦点在x轴上，开口向右焦点在x轴上，开口向左焦点在y轴上，开口向上焦点在y轴上，开口向下标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形顶点)0,0(O对称轴x轴y轴焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率1e准线2px2px2py2py通径p2焦半径2||||0pxPF2||||0pyPF焦点弦焦准距pOFPylxOFPylxOFPylxxOFPyl4四、弦长公式：||14)(1||1||2212212212AkxxxxkxxkAB其中,,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和2x的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21，ACxx21；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程,02CByAy则相应的弦长公式是：||)1(14)()1(1||)1(1||2212212212AkyyyykyykAB注意（1）上面用到了关系式||4)(||2122121Axxxxxx和||4)(2122121Ayyyyyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21；（3）设中点),(00yxM，由中点坐标公式得2210xxx；再把0xx代入直线方程求出0yy。法（二）：用点差法，设),(11yxA，),(22yxB，中点),(00yxM，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,yx。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)