平面解析几何基础知识

§07.直直线线和和圆圆的的方方程程知知识识要要点点一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800.注：①当90或12xx时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0,0(,baba时，直线方程是：1byax.注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：1l∥212kkl两条直线平行的条件是：①1l和2l是两条不重合的直线.②在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,ll，它们在y轴上的纵截距是21,bb，则1l∥212kkl，且21bb或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l∥212l.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在.②0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在.（即01221BABA是垂直的充要条件）4.直线的交角：⑴直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.⑵两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk.5.过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）6.点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到l的距离为d，则有2200BACByAxd.注：1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(||yyxxPP.特例：点P(x,y)到原点O的距离：22||OPxy2.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212PPPPPP所成的比为即,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则1,12121yyyxxx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:tank4.过两点1212222111),(),,(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：.12()xx当2121,yyxx（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率新疆学案王新敞⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd.注；直线系方程1.与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m∊R,C≠m).2.与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m∊R)3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ∊R）注：该直线系不含l2.7.关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圆的方程.1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程222)()(bbyax)],(),(,[bababr或圆心②与y轴相切的圆方程222)()(abyax)],(),(,[babaar或圆心③与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax)],(,[aaar圆心3.圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）.②方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax5.直线和圆的位置关系：设圆圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.①rd时，l与C相切；附：若两圆相切，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程.②rd时，l与C相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.③rd时，l与C相离.附：若两圆相离，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与C相切；l0与C相交；l0与C相离.注：若两圆为同心圆则011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx.①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知O的方程022FEyDxyx…①又以ABCD为圆为方程为0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxCABCD(a,b)2))(())((kbxyyaxxxAA…②4)()(222byaxRAA…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；2）方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;2）参数法;3）定义法，4）待定系数法.高中数学第八章-圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．§08.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF⑴①椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax.ii.中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.②一般方程：)0,0(122BAByAx.③椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.⑵①顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.③焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.④焦距：2221,2baccFF.⑤准线：cax2或cay2.⑥离心率：)10(eace.⑦焦点半径：i.设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),