第二章-基本初等函数知识点

第二章基本初等函数知识点一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）ra·srraa（2）rssraa)(（3）srraaab)(（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a10a1654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．指数式与对数式的互化幂值真数ba＝NlogaN＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；Nalog○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．2、对数函数的性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．例题：基本初等函数复习题一、选择题1、下列函数中，在区间0,不是增函数的是（）A.xy2B.xylgC.3xyD.1yx2、函数y＝log2x＋3（x≥1）的值域是（）A.,2B.（3，＋∞）C.,3D.（－∞，＋∞）3、若{|2},{|1}xMyyPyyx，则M∩P（）A.{|1}yyB.{|1}yyC.{|0}yyD.{|0}yy4、对数式2log(5)aba中，实数a的取值范围是（）A.a5,或a2B.2a5C.2a3,或3a5D.3a45、已知xaxf)()10(aa且，且)3()2(ff，则a的取值范围是（）A.0aB.1aC.1aD.10a6、函数|log|)(21xxf的单调递增区间是A、]21,0(B、]1,0(C、（0，+∞）D、),1[7、图中曲线分别表示lgayox，lgbyox，lgcyox，lgdyox的图象，,,,abcd的关系是（）A、0ab1dcB、0ba1cdC、0dc1abD、0cd1ab8、已知幂函数f(x)过点（2，22），则f(4)的值为xyOy=logaxy=logbxy=logcxy=logdx1（）A、21B、1C、2D、89、a=log0.50.6，b=log20.5，c=log35，则()A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b10、已知)2(logaxya在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是()A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］二、填空题11、函数)1(log21xy的定义域为.12.设函数4242xxfxxfx，则2log3f=13、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低31，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为14、函数2)23x(lg)x(f恒过定点三、解答题：15、求下列各式中的x的值1)1x(ln)1(16、点（2，1）与（1，2）在函数2axbfx的图象上，求fx的解析式。1.a0a,1)2(212且其中xxaa17．（本小题满分12分）设函数421()log1xxfxxx,求满足()fx=41的x的值．18．已知()2xfx，()gx是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]fgx的图象上，点(2,5)在函数[()]gfx的图象上，求()gx的解析式．19、已知函数xxxf11lg)(，（1）求)(xf的定义域；（2）使0)(xf的x的取值范围.20、已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数。（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数fx的单调性;