高中数学复习全套知识点

集合一定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二集合的抽象表示形式用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。三元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作aA；元素a不属于集合A，记作aA。四几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。五集合的表示方法(一)列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：{a,b,c}。注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二)描述法：有以下两种描述方式1．代号描述：【例】方程2x3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。(三)韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1．子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的子图1-1集，记作：AB，如图1-1所示。子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作ABØ或AB。真子集也是子集，和子集的区别之处在于AB。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，有2n个子集，有2n-1个真子集；(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，AB的等价形式主要有：BBAABA，。2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作BA，读作A交B，如图1-2所示。图1-2图1-3图1-43．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作BA，读作A并B，如图1-3所示。4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作UCA，读作A补，如图1-4所示。德摩根公式：();()UUUUUUCABCACBCABCACB.(四)区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．第二章函数一映射与函数的基本概念(一)映射A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。图2-1是映射图2-2是一一映射图2-3不是映射(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二)函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。图2-4二定义域题型(一)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在()fx中()0fx；在()()gxfx中，()0fx；在log()afx中，()0fx；在tan()fx中，()2fxk；在0()fx中，()0fx；在xa与logax中0a且1a，列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三值域题型(一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三)分式函数求值域：四种题型(1)cxdyaxb(0)a：则cya且yR。(2)(2)cxdyxaxb：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围。(3)2223261xxyxx：(21)(2)21()(21)(31)312xxxyxxxx，则1y13y且且yR。(4)求2211xyxx的值域，当xR时，用判别式法求值域。2211xyxx2(2)10yxyxy，2(2)4(1)0yyy值域(四)不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五)原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六)已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。四函数运算法则（一）指数运算法则①mnmnaaa②mnmnaaa③()mnmnaa④()mmmabab运用指数运算法则，一般从右往左变形。（二）对数运算法则同底公式：①logabab②logloglog()aaaMNMN③logloglogaaaMMNN④loglognaaMnM运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。不同底公式：①logloglogmamNNa②loglogmnaanbbm③1loglogabba运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。五函数解析式(一)换元法：如f(2x+3)=x2+3x+5，求f(3-7x)，(设2x+3=3-7t)。(二)构造法：如221)1(xxxxf，求f(x)。(三)待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx+)+C中系数(四)递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五)求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。六常规函数的图像常规函数图像主要有：指数函数：逆时针旋转，对数函数：逆时针旋转，底数越来越大底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七函数的单调性(一)定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。(二)单调性题型：1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法：211x：当0x1时，x↑，x2↑，-x2↓，↓，1↑，1↓2.判断单调性(1).求导函数：()0fx为增函数，()0fx为减函数(2).利用定义：设x1xx2，比较f(x1)与f(x2)大小，把12()()fxfx因式分解，看正负。(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。3.利用函数单调性：(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。(2).比较函数值的大小：画图看(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。增函数1212()()xxfxfx或1212()()fxfxxx减函数1212()()xxfxfx或1212()()fxfxxx(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。八函数的奇偶性(一)定义：如果()()fxfx,则()fx为偶函数；如果()()fxfx,则()fx为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。(二)奇偶性题型：1.判断奇偶性：(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。2.利用奇偶性：(1).利用公式：f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，计算或求解析式(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。3.奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y轴对称若()()faxfbx‎，则f(x)关于2bax对称奇函数：关于原点对称若()()2faxfbxm，则f(x)关于点(2ba，m)‎对称九函数的周期性(一)定义：若()()fxTfx，则()fx为周期函数，T为()fx周期(二)周期性考点：1.求周期：(1).利用f(x)=f(T‎+‎x)列出方程解出T‎=(2).把所给函数化为y=Asin(ωx+ф)+C标准形式，直接读出周期2T2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T‎+‎x)(1).求解析式(2).求函数值十函数图像的对称性(一)一个图关于点对称：(Ⅰ)奇函数关于原点对称(Ⅱ)若f(a+x)+f(b-x)=2m，则f(x)关于(2ba，m)对称(二)一个图关于直线对称：(Ⅰ)偶函数关于y轴对称(Ⅱ)‎()()faxfbx，则()fx关于2bax对称(三)两个图关于点对称(Ⅰ)()yfx关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，即-y=f(-x)(Ⅱ)()yfx关于(,)ab对称的函数：2,2xaxyby即2(2)byfax(四)两个图关于线对称(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x对称(Ⅱ)y=‎f(x)关于y=x‎+‎c对称的函数:x→y-c，y→x+c，即x+c=‎f(y-c)(Ⅲ)y=‎f(x)关于y=-x+c对称的函数:‎x→-y+c,y→-x+c，即-x+c=‎f(-y+c)‎‎‎‎‎‎‎‎(Ⅳ)f(x)与f(-x)关于y轴对f(a+x)与f(b-x)关于2abx对称‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎(Ⅴ)f(x)与-f(x)关于x轴对称十一原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。（一）求反函数：先反表示，再,xy互换；或先,xy互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。（二）利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。1．定义域、值域：原函数自变量等价于反函数函数值，原函数函数值等价于反函数自变量；原函数定义域等价于反函数值域，原函数值域等价于反函数定义域。2．单调性：原函数与反函数具有相同的单调性3．奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。4．对称性：原函数与反函数图像关于yx对称，原函数与反函数交点一定在yx上。不等式一不等式的证明证明不等式选择方法的程序：①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1；③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方；平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：2221122abababab