对数函数图象及其性质知识点及例题解析

第1页共8页对数函数的图象及性质例题解析题型一判断对数函数【例1】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________．解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________．（1）y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x，不是自变量x(2)×对数式后加2(3)×真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1(4)×底数是自变量x，不是常数(5)√底数是6，真数是x题型二底数对图象的影响【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从3，43，35，110中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()A．3，43，35，110B．3，43，110，35C．43，3，35，110D．43，3，110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是3，43，35，110．答案：A点技巧作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．题型三对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．第2页共8页【例3】求下列函数的定义域．(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)；(3)0.5log(43)yx．分析：利用对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1，故函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}．(2)要使函数有意义，则540,210,211,xxx解得x＞45且x≠1，故函数y＝log(2x－1)(5x－4)的定义域是4,15(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,xx解得34＜x≤1，故函数0.5log(43)yx的定义域是314xx．题型四对数型函数的值域的求解方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．方法二、对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)这两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．方法三、对于函数y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用换元法，设logax＝t，则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例4】求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝212log(32)xx＋－．解：(1)∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2．∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4．又y＝12logu在(0，＋∞)上为减函数，∴12logu≥－2．∴函数y＝212log(32)xx＋－的值域为[－2，＋∞)．【例4－1】已知f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．分析：先确定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]．令t＝log3x(x[1,3])．∵t＝log3x在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t≤1．第3页共8页从而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为13．题型五对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)过定点(1,0)，即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y＝b＋klogaf(x)(k，b均为常数，且k≠0)，令f(x)＝1，解方程得x＝m，则该函数恒过定点(m，b)．方程f(x)＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――----------------→向左(b0)或向右(b0)平移|b|个单位长度函数y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)②函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――---------------→向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位长度函数y＝logax＋b(a＞0，且a≠1)③函数y＝logax(a＞0，且a≠1)―----------------―→当x0时，两函数图象相同当x0时，将x0时的图象关于y轴对称函数y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)④函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――----------------------------------------→保留x轴上方的图象同时将x轴下方的图象作关于x轴的对称变换函数y＝|logax|(a＞0，且a≠1)【例5】若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)，得2＝loga(3＋b)＋c．又∵当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2．∴loga(3＋b)＝0．∴b＝－2．答案：－2,2【例5－1】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y＝log2x的图象，如图①；(第二步)将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y＝|log2(x＋1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．第4页共8页题型六利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．(2)底数不同，真数相同．(3)底数不同，真数也不同．(4)对于多个对数式的大小比较注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例6】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.141．综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141．【例6－1】若a2＞b＞a＞1，试比较logaab，logbba，logba，logab的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴logaab＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，即0＜logba＜1．由于1＜ba＜b，∴0＜logbba＜1．由logba－logbba＝2logbab，∵a2＞b＞1，∴2ab＞1．∴2logbab＞0，即logba＞logbba．∴logab＞logba＞logbba＞logaab．第5页共8页题型七利用对数函数的单调性解不等式常见的对数不等式有三种类型：①形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．②形如logaf(x)＞b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解．③形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f(logax)＞0的不等式，可用换元法(令t＝logax)，先解f(t)＞0，得到t的取值范围．然后再解x的范围．【例7】解下列不等式：(1)1177loglog(4)xx；(2)logx(2x＋1)＞logx(3－x)．解：(1)由已知，得0,40,4,xxxx解得0＜x＜2．故原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x＞1时，有213,210,30,xxxx解得1＜x＜3；当0＜x＜1时，有213,210,30,xxxx解得0＜x＜23．所以原不等式的解集是20133xxx或．【例7－1】若22log3a＜1，求a的取值范围．解：∵22log3a＜1，∴－1＜2log3a＜1，即12logloglog3aaaaa．(1)∵当a＞1时，y＝logax为增函数，∴123aa．∴a＞32，结合a＞1，可知a＞32．(2)∵当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，∴123aa．∴a＜23，结合0＜a＜1，知0＜a＜23．∴a的取值范围是23032aaa，或．题型八对数型函数单调性的讨论（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y＝logaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf(x)的单调性与u＝f(x)(f(x)＞0)的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1时相反．第6页共8页【例8】求函数y＝log2(3－2x)的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y＝log2(3－2x)是由对数函数y＝log2u和一次函数u＝3－2x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u＝3－2x的单调性、值域入手，并结合函数y＝log2u的单调性考虑．解：由3－2x＞0，解得函数y＝log2(3－2x)的定义域是－∞，32．设u＝3－2x，x－∞，32，∵u＝3－2x在