二次根式知识点总结和习题

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a·b（a≥0，b≥0）；bbaa（b≥0，a0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．新人教九年级（上）第21章《二次根式》同步学习检测（一）（整章检测）（时间90分钟满分100分）一、选择题（共12分）1．在根式15、22b-a1ba、3ab、631、baa221中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．在二次根式32，-256，611，4951和232中，与6是同类根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．在下列各式中，等号不成立的是（）A．a1＝-aaB．2xy＝y4x2(x＞0)C．32a-＝a2a-D．xy+y)÷(x+y)＝x+y4．在下列各式的化简中，化简正确的有（）①3a＝aa②5xx-x＝4xx③6a2ba＝ab2b3a④24+61＝106A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知二条线段的长分别为2cm、3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A．．5．5cmD．1cm或5cm6．已知a＜0，化简：aaa22的结果是（）A．1B．-1C．0D．2a二、填空题（每题2分，共20分）7．52的绝对值是__________，它的倒数__________8．当x___________时，x311是二次根式．9．当x______时，52x有意义，若xx2有意义，则x______。10．当mn时，2)(mn＝______，当a_______时，3132aa11．化简04.0225_________，22108117_________。12．计算：ba10253___________．13．若最简二次根式1522x与－172x是同类二次根式，则x=______。14．把根式aa1根号外的a移到根号内，得___________。15．二次根式x33与ax2的和是一个．．二次根式，则正整数a的最小值为；其和为。16．观察下列各式：322322；833833；15441544；……则依次第四个式子是；用)2(nn的等式表达你所观察得到的规律应是。三、解答题（共68分）17．（5分）计算：bababaa18．（5分）计算：)483814122(2219．（5分）解方程：3548015xx20．（5分）解不等式：)1(6)3(2xx21．（5分）已知：2420x，求221xx的值．22．（5分）化简并求值aaaaaaa22212121其中321a23．（5分）已知实数a满足|2003－a|+a－2004=a，则a－20032的值是多少？24．（5分）已知正数a和b，有下列命题：（1）若2ba，则ab≤1；（2）若3ba，则ab≤23；（3）若6ba，则ab≤3；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9ba，则ab≤。25．（6分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。已知m为实数，化简：mmm13解：原式＝mmmmm1＝mm126．（6分）如图，ABC中，RtACB，2,8BCAB，求斜边AB上的高CD．27．（8分）观察下列等式：①12)12)(12(12121；②23)23)(23(23231；③34)34)(34(34341；……回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：11321（2）计算：1031......23132121128．（8分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长。ACBEDF新人教九年级（上）第21章《二次根式》同步学习检测（二）一、选择题1、如果－3x+5是二次根式，则x的取值范围是（）A、x≠－5B、x－5C、x－5D、x≤－52、等式x2－1=x+1·x－1成立的条件是（）A、x1B、x－1C、x≥1D、x≤－13、已知a=15－2,b=15+2，则a2+b2+7的值为（）A、3B、4C、5D、64、下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）A、2－xB、x+2C、x－2D、1x－25、在下列根式中，不是最简二次根式的是（）A、a2+1B、2x+1C、2b4D、0.1y6、下面的等式总能成立的是（）A、a2=aB、aa2=a2C、a·b=abD、ab=a·b7、m为实数，则m2+4m+5的值一定是（）A、整数B、正整数C、正数D、负数8、已知xy0,化简二次根式x－yx2的正确结果为（）A、yB、－yC、－yD、－－y9、若代数式(2－a)2+(a－4)2的值是常数2，则a的取值范围是（）A、a≥4B、a≤2C、2≤a≤4D、a=2或a=410、下列根式不能与48合并的是（）A、0.12B、18C、113D、－7511、如果最简根式3a－8与17－2a是同类二次根式，那么使4a－2x有意义的x的范围是（）A、x≤10B、x≥10C、x10D、x1012、若实数x、y满足x2+y2－4x－2y+5=0,则x+y3y－2x的值是（）A、1B、32+2C、3+22D、3－22二、填空题1、要使x－13－x有意义，则x的取值范围是。2、若a+4+a+2b－2=0，则ab=。3、若1－a2与a2－1都是二次根式，那么1－a2+a2－1=。4、若y=1－2x+2x－1+(x－1)2，则(x+y)2003=。5、若2x1+3x，化简(x+2)2－3(x+3)3=。6、若(a+1)2=(a－1)2，则a=.7、比较大小：⑴3526⑵11－1014－138、若最简根式m2－3与5m+3是同类二次根式，则m=.9、已知223=223,338=338,4415=4415,…请你用含n的式子将其中蕴涵的规律表示出来：.10、若5的整数部分是a，小数部分是b，则a－1b=。11、已知x=1a－a，则4x+x2=。12、已知a=3－5－3+5，则化简a得.三、计算与化简1、(3+2)－1+(－2)2+3－82、13+1+15－3+15+33、(1+2－3)(1－2+3)+264、9a+a31a+12aa3四、先化简再求值1、已知a=3,b=4，求[4(a+b)(a－b)+a+bab(b－a)]÷a－bab的值。2、化简：a+2+a2－4a+2－a2－4－a+2－a2－4a+2＋a2－4取自己喜爱的a的值计算。3、当a=3+23－2，b=3－23＋2时，求a2－3ab+b2的值。4、当a=21－3时，求a2－1a－1－a2＋2a+1a2＋a－1a的值。五、解答下列各题1、解方程：3(x－1)=2(x+1)2、解方程组：形两直角边长分别为a=123－11,b=123＋11,3、已知直角三角求斜边的长。x2=y6x+y=4【参考答案】同步学习检测（一）一、选择题1．C2．B3．C4．B5．D6．B二、填空题7．52,258．＞139．≥52，x≤2且0x10．m-n，＜011．3，4512．302ab13．114．a15．61016.5555424，2211nnnnnn三、解答题17．118．14619．3xy20．33x21．1822．11,3aa23．200924．9225．原式＝1()()mmmmm＝1mm26．6227．（1）2311；（2）928．(98305634)米．同步学习检测（二）一、选择题1、C2、C3、C4、C5、D6、C7、C8、D9、C10、B11、A12、C二、填空题1、1≤x32、－123、04、15、－2x－56、07、8、69、n+nn2－1=nnn2－1(n≥2且n为整数)10、－511、1a－a12、－2三、计算与化简1、3－22、3+13、－4+464、236a四、先化简再求值1、3－22、a3、954、－3五、解答下列各题1、x=5+262、x=23－2y=6－233、464、⑴7－6⑵5－2⑶2－62