北师大版八年级上册数学第四章一次函数的复习专题

第四章：一次函数一、基本概念（一）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vts中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.（二）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。（三）如何判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应练习：1、下列四个图形中，不能表示y是x的函数的是（）2、下列变量之间的关系：（1）多边形的对角线条数与边数；（2）三角形面积与它的底边长；（3）x-y=3中的x与y；（4）32xy中的y与x；（5）圆面积与圆的半径。其中成函数关系的有（）．A．2个B.3个C.4个D.5个（四）如何判断一个函数是否为一次函数：（1）右边是关于x的整式（2）自变量x的次数为1（3）自变量x的系数0k练习：1、下列函数（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=1x(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个2、下列函数中，x是自变量，y是x的函数，哪些是一次函数？（1）xy3；（2）xy3；（3）13xy；（4）2xy3、已知3)1(kxky是x的一次函数，那么k=.4、下列函数：①x3y、②6x8y、③x1y、④x821y、⑤1x4x5y2中是一次函数的有；是正比例函数的有（只填序号）5、有下列函数：①3xy、②x8y、③、)x81(xx8y2、④6xy、⑤x43y、⑥5x2y2中是一次函数的有；是正比例函数的有（只填序号）6、若函数m5x)2m(y是一次函数，则m；若此函数是正比例函数，则m7、已知函数：m21x)10m(ym为何值时，这个函数是一次函数？m为何值时，这个函数是正比例函数？解：根据一次函数的定义，可得m-100，所以当时，这个函数是一次函数。根据正比例函数的定义，可得m-100且1-2m0;所以当时，这个函数是正比例函数8、当m为何值时，函数)4()2(32mxmym是一次函数？（五）如何判断一个函数是正比例函数：（1）自变量的次数为1（2）自变量的系数0k（3）常数项0b练习：1、某函数xxmy2)13(（m是常数）是关于x的正比例函数，则下列判断正确的是（）A、31mB、31mC、31mD、m为任意实数2、若12y与5x成正比例，则（）A、y是x的一次函数B、y与x没有函数关系C、y是x的函数，但不是一次函数D、y是x的正比例函数3、下列函数是正比例函数的是（）A、xy8B、xy8C、652xyD、15.0xy4、函数12mxmxy，当m取时，它是正比例函数4、当m取何值时，)2(32mxym是正比例函数？（六）函数自变量的取值范围：⑴整式：自变量取一切实数；⑵分式：分母不为零；⑶偶次方根：被开方数为非负数；⑷零指数与负整数指数幂：底数不为零；⑸在实际问题中，自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。例题：一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12，得k=0.5∴所求函数解析式为y=0.5x+12由23=0.5x+12得：x=22∴自变量x的取值范围是0≤x≤22练习：1、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A、y=2xB、y=12xC、y=24xD、y=2x·2x2、下列函数中自变量的取值范围是全体实数的是（）A、841xyB、275xyC、xyD、112xy3、已知函数221xy，当11x时，y的取值范围是（）A.2325yB.2523yC.2523yD.2523y4、函数1xxy中的自变量x的取值范围是（）A、0xB、1xC、0xD、0x且1x4、函数5yx中自变量x的取值范围是___________5、函数21xxy中，自变量x的取值范围是（七）函数解析式（表达式/关系式）：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。（八）函数的表示方法⑴列表法：用列出自变量与因变量的对应值，表示两个变量之间的关系。⑵关系式法：用表示两个变量之间的函数关系。⑶图象法：用表示两个变量之间的函数关系。函数的三种表示方法的优缺点是什么？⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。（九）函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．（十）描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。二、一次函数与正比例函数的图象及性质1、正比例函数表达式：y=kx（0k）图象：过（0，0）、（1，k）两点的一条直线性质：（1）当k0时，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大（2）当k0时，图像经过二、四象限，表达式的确定：待定系数法：设、代、求、写倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴2、一次函数表达式：y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)当x=0时，b为函数在y轴上的截距。图象：过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，x轴总是交于（kb，0）性质：（1）00bk直线经过第一、二、三象限（2）00bk直线经过第一、三、四象限y随x的增大而增大（3）00bk直线经过第一、二、四象限（4）00bk直线经过第二、三、四象限y随x的增大而减小表达式的确定：待定系数法：设、代、求、写倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.图像的平移：当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位得到y=kx＋b；当b0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位得到y=kx＋b。3、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）k1=k2且b1=b2两直线重合；（2）k1=k2且b1b2两直线平行；（3）k1k2且b1b2两直线相交；（4）k1k2b1=b2两直线相交于y轴上即点（0，b）：三、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b0b0b=0k0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小四、巩固练习1、已知正比例函数(35)ymx，则当m______________时；y随x的增大而减小。当m时，y随x的增大而增大.2、已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1y2，则x1与x2的大小关系是（）A.x1x2B.x1x2C.x1=x2D.无法确定3、一次函数y=kx+b满足kb0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、若23yxb是正比例函数，则b的值是（）A.0B.23C.23D.325、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是()A.0kB.1kC.1kD.1k6、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．7、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．8、若关于x的函数1(1)mynx是一次函数，则m=，n.9、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）10、若直线axy和直线bxy的交点坐标为(8,m),则ba____________.11、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－112、若m＜0,n＞0,则一次函数y=mx+n的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限13、一条直线bkxy，其中6,5kbbk，那么该直线经过（）A、第二、四象限B、第一、二、三象限C、第一、三象限D、第二、三、四象限14、判断点A（2，4），B（-2，5）是否在函数y=3x-2的图象上。解：当x=2时，y=；当x=-2时，y=≠。所以点A（2，4）；点B（-2，5）。15、已知点A（a+2，1-a）在函数y=2x+1的图象上，求a的值。（分析：因为点A在函数y=2x+1的图象上，所以点A的坐标满足函数的关系式，即将x=a+2，y=1-a代入中，即可求出a的值）解：根据题意得，解得：a=。16、下列各点：（1，2）、（-2，1）、（1，-2）、（-1，21），在函数y=2x图象上的有：。17、一次函数y=-3x-4与x轴交于，与y轴交于。18、已知一次函数y=3x+1经过点（a，1）和点（-2，b），则a=，b=。19、函数y=2x和y=ax+4的图象交于点A（m，3）则a的值为。20、已知直线y=-2x+4，它与x轴的交点为A，与y轴的交点为B。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积（O为坐标原点）；（3）求点O到AB的距离（提示：点在坐标轴上，纵（横）为0，从而可得A、B的坐标；再求出OA、OB的长度，从而得面积；再根据面积相等可得点O到AB的距离）解：21、若一次函数y=-x+b的图象经过点（0，-3），求b的值．22、若函数y=-2mx-（m2-9）的图象经过原点，求m的值．23、求直线y=2x+4与x轴和y轴的交点坐标．24、已知y=-2x-1的图象上有一点P（-1，k），求点P到x轴，y轴的距离．五、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数表达式。（1）设——设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）代——因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②（3）求——解这个二元一次方程，得到k，b的值。（4）写——最后得到一次函数的表达式。练习：1、已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（－2，5），并且与y轴相交于点P，直线y＝21x+3与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数的表达式。2、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元是行李质量x(千克)的一次函数