线性代数试题及答案

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9《线性代数(理)》综合复习资料一、选择及填空题1.二次型22123231213232244(,,)fxxxxxxxxxxx的矩阵为A。2.齐次线性代数方程组0nnAxAR()有非零解的充要条件是。3.设A和B皆为n阶方阵,则下面论断正确的是()(1)TTTABAB();(2)AAAE,其中A为A的伴随矩阵;(3)111ABAB();(4)如果ABO,则AO或BO。4.已知三阶方阵A的特征值为1,0,2,则EA的全部特征值为。5.设矩阵mnAR的秩为r(min(,),rmnr0),则下列说法不正确的是()(1)矩阵A所有r阶子式均不等于零;(2)矩阵A的所有1r阶子式全等于零;(3)矩阵A的行向量构成的向量组的秩为r;(4)矩阵A的列向量构成的向量组的秩为r。6.下列说法错误的是()(1)n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个互不相同的特征值;(2)相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值;(3)矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩;(4)矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩。7.下列说法不正确的是()(1)一个向量组的最大无关组是不唯一的;(2)向量组与其最大无关组是等价的;(3)如果向量组所含向量的个数大于它的秩,则该向量组线性相关;(4)秩相同的向量组一定是等价向量组。8.设111213212223313233aaaAaaaaaa,111211132122212331323133aaaaBaaaaaaaa,110010001P,则下列等式正确的是()9(1)PAB;(2)APB;(3)PBA;(4)BPA。9.如果矩阵A与三角矩阵200520373相似,则A的全部特征值为。10.非齐次线性代数方程组0nnAxbARb(,)有解的充要条件是。11.设行列式1112132122233132332aaaaaaaaa,则313233212223111213333aaaaaaaaa。12.下列说法不正确的是()(1)含有零向量的向量组一定线性相关;(2)不含有零向量的向量组一定线性无关;(3)如果一个向量组的部分向量线性相关,则该向量组一定线性相关;(4)如果一个向量组线性无关,则该向量组中任意部分向量构成的向量组一定线性无关。13.设矩阵111213212223313233aaaAaaaaaa,111213132122232331323333aaaaBaaaaaaaa,如果APB,则初等矩阵P为()(1)100010011P;(2)100010011P;(3)100011001P;(4)100011001P。14.设,nnABR满足关系式ABE,其中E为单位矩阵,则下列说法不正确的是()(1),AB的行列式均不为零;(2)A为可逆矩阵,B为不可逆矩阵;(3)*ABA;(4)*BAB。(其中符号*表示伴随矩阵)915.设A111111131123,则A的秩()rA。16.设向量组123,,线性无关,如果向量组21t,32,13线性相关,则t的值为()。(1)1;(2)2;(3)-1;(4)-2。17.对于矩阵nnAR,下列说法不正确的是()(1)如果矩阵A中有一行元素全为零,则A0;(2)如果矩阵A中有两行元素对应成比例,则A0;(3)如果交换矩阵A的任意两行,则相应的矩阵行列式值不变;(4)如果将矩阵A的某一行加到另外一行,则相应的矩阵行列式值不变。18.设nnABR,,则下面说法不正确的是()(1)如果APBP1,则A与B相似;(2)如果APBQ,则A与B等价;(3)如果TAAE,则A为正交矩阵,其中E为单位矩阵;(4)如果TAA,则A为对称矩阵。二、计算题1.计算行列式D1111210734181236的值。2.设矩阵A101110012,求矩阵1A。3.已知向量组11111,21023,31135,941247,求该向量组的一个最大无关组。4.计算n阶行列式ababDabba000000000000(ab0)的值。5.为何值时,非齐次线性方程组12312312314xxxxxxxxx有唯一解?无解?无穷多解?6.求矩阵A200032023的特征值和相应的特征向量。7.已知向量组12101,21320,35162,470143,求该向量组的一个最大无关组。8.设有线性方程组123123123433632xxxxxxxxaxb,问ab、为何值时,方程组有唯一解?无解?有无穷多解?9.设有线性方程组123123123122xxxxxxaxxxb,问ab、为何值时,方程组有唯一解?无解?有无穷多解?9参考答案一、1.012122221;2.A0;3.(2);4.2,1,1;5.(1);6.(1);7.(4);8.(2);9.2,-2,3;10.(,)()rankAbrankA;11.-6;12.(2);13.(1);14.(2)15.2;16.(1);17.(3);18.(2)二、解:1.利用行列式的性质简化行列式即得D1111210734181236rrrrrr213141111120125301250145111101250041000610410206102.AE101100110010012001101100011110001111100211010221001111,A12112211113.将给定的向量按行排列成矩阵,利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可:123411111023113512471234111101120224033612341111011200000000,所以12,是该向量组的一个最大无关组。94.nnabbababDab()aabbaab10000000001000000000(其中两个行列式分别为上三角和下三角行列式)利用特殊行列式即得11()nnnnDab。5.解:此是带有参数的非齐次线性方程组的解的讨论问题。系数矩阵和增广矩阵分别为:1111111A,111411111B210110111111111A21112111)1()12)(1()3)(1((1)当1且3时,0A,3)()(BRAR,所以方程组有唯一解;(2)1时,111141111111B222030001111~300022201111~3)(,2)(BRAR,)()(BRAR,所以方程组无解;(3)3时,311143111131B222034401131~9100012201131~222012201131~3)(,2)(BRAR,)()(BRAR,所以方程组无解;6.解:首先计算特征多项式200032023EA2150()()()特征值为12,2315,;求12对应的特征向量:解方程组20EAx(),等价方程组1230000520025xxx,此时方程组的一个解向量为1100p。故12对应的所有特征向量为111100kkpkR,。求21对应的特征向量:解方程组0EAx(),即等价方程组1233000220022xxx,此时方程组的一个解向量为2011p;故11对应的所有特征向量为2222011kpkkR,。求35对应的特征向量:解方程组50EAx(),即等价方程组为91237000220022xxx,此时方程组的一个解向量为3011p;故15对应的所有特征向量为3333011kpkkR,。7.将给定的向量按行排列成矩阵,利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可:123421011320516270143432131407261502311470432130210241400231147012340741132000400000,所以123,,是一个最大无关组。注:该题结果不唯一。8.对方程组的增广矩阵进行初等行变换,根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得1413131332Abab()9033140270141ba141307200019ab当1a时,方程组有唯一解(系数行列式非零);当1a且9b时,方程组无解(()()rankArankAb);当1a且9b时,方程组有无穷多解(23()()rankAbrankA)。9.对方程组的增广矩阵进行初等行变换,根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得1111211211Abab()(2分)111101300044aba9当1a时,方程组有唯一解(系数行列式非零);当1a且1b时,方程组无解(()()rankArankAb);当1a且1b时,方程组有无穷多解(23()()rankAbrankA)。

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