二次函数的对称性与增减性

二次函数图象对称性在解题中的应用基础知识点回顾二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)①此函数的对称轴为直线_________（用a、b表示）abx2221xxx②若函数图象与x轴相交于点A（1，0）、B(5，0)，则对称轴可表示为直线；x=3③若函数图象与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），则对称轴可表示为直线；④若点(x1,n),(x2,n)在抛物线上，则抛物线的对称轴可表示为_______221xxx温故知新探究总结1、抛物线的顶点坐标为（0，4），与x轴的一个交点坐标为M（－2，0），请写出抛物线与x轴的另一个交点坐标N()2,0若抛物线上有一点A的坐标为(-1，3)，在抛物线上与A关于对称轴对称的点B的坐标是().1,3如果有一点C的横坐标为x，则C点坐标怎么表示？C（）.y=-x2+4x,-x2+4在抛物线上与C点关于对称轴对称的点D的坐标是D（）-x,-x2+x总结：在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征纵坐标相等2.如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象与x轴的一个交点坐标为M（1，0），请写出抛物线与x轴的另一个交点坐标N()5,0若抛物线上有一点A的横坐标为2，则A点坐标为().y=-(x-3)2+42,3在抛物线上与点A关于对称轴对称的点B的坐标是()4,3如果有一点C在抛物线上,横坐标为x(x3)，则C点坐标为C（）x,-(x-3)2+4在抛物线上，点D与点C关于对称轴对称，点D的坐标是(）6-x,-(x-3)2+4321xx明察秋毫快速反应如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y与自变量x的对应值.x…-5-3-20356...y…2770-8-5716…找出抛物线上关于对称轴对称的两点。写出抛物线的对称轴。抛物线与x轴的交点坐标是。(-3,7)、(5,7)x=1(-2,0)、(4,0)抛物线上一点(m,n)关于对称轴对称的点为：。(2-m,n)几个重要结论：1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线：aby23、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：221xxx2、若抛物线与轴的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)，则抛物线的对称轴是：221xxx4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A(x1,0)，且其对称轴是x=m，则另一个交点B的坐标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）x2=2m-x1x2=2m-x1mxx2215、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，0与x1+x2关于对称对称轴20)(221xxabx如图：巧用“对称性”化繁为简抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是______(1,0)(一)求点的坐标(函数值)1、如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点，B的坐标为（，0），则点A的坐标是______3)0,32(2、已知关于x的方程ax2+bx+c=3的一个根为x1=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(2，1)C．(2，3)D．(3，2)C3、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是()A．(0.5，0)B．(1，0)C．(2，0)D．(3，0)1222aaabxB4、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数y=ax2+bx+5(a≠0)的图象上两点,则当x=x1+x2时,二次函数的值是()A.5－B、5+C.2013D.5ab42ab22AB)0,2(22xxAB(x1+x2,0)点O与点B关于点A对称即：0与x1+x2关于对称。ab2D5、若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A、a+cB、a－cC、－cD、cD0与x1+x2关于对称。ab26、抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标是____(1，-8)1、已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标为（-1，-3.2）及部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根分别为x1=1.3，x2=_____(二)求方程的根-3.32、已知抛物线y=a(x-1)2+h(a≠0)与x轴交于A(x1,0)、B(3,0)两点，则线段AB的长度为（）A．1B．2C．3D．4D1,12311xx(三)求代数式的值(函数值)1、抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值为()A.0B.－1C.1D.2A若将对称轴改为直线x=2，其余条件不变，则a+b+c=.02、若y=ax2+5与x轴两交点分别为（x1,0),(x2,0)，则当x=x1+x2时，y值为____5(四)求函数解析式1、已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为_____;函数解析式为。(-1,0)252212xxy2、已知二次函数的图像经过A（-1,0）、B（3,0），且函数有最小值-8，试求二次函数解析式.对称轴x=1设解析式为y=a(x+1)(x-3)或y=a(x-1)2-8y=2x2-4x-6(五)比较函数值的大小1、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(-1，y1),(0.5，y2),(-3.5，y3)则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（）A、y1y2y3B、y2y3y1C、y3y1y2D、y3y2y1离对称轴越近函数值越小D2、设A(－2,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是抛物线y=－(x+1)2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y3y1y2离对称轴越近函数值越大A离对称轴越近函数值越小1、如图函数y=x2－x+m(m为常数)的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a－1时，函数值（）A．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m211∴a-10m∴ymCa(六)判断命题的真伪2、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于(1,0).试添加一个条件，使它的对称轴为直线x=2.C抛物线过(1,0),(3,0)∴(1+3)÷2=2.小华正确抛物线过(0,3),(4,3)∴(0+4)÷2=2.小彬正确a=1时，0=1+b+3,b=-422ab小明正确被x轴截得的线段长为2∴抛物线过(1,0)、(-1,0)或过(1,0)、(3,0)小颖错误巧用“对称性”化线为点1、求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。方法一：将一般形式化为顶点式y=a(x-h)2+ky=2(x-1)2-7∴抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线的解析式为：y=-2(x-1)2+7开口向上变为开口向下顶点（1，-7）变为（1,7）点（x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)∴抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线解析式为：y=-2x2+4x+5∴y=-ax2-bx-c1、求抛物线y=2x2-4x-5关于x轴对称的抛物线。方法二：在抛物线y=ax2+bx+c上任取一点(x,y)∴抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为：-y=ax2+bx+c若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便若原抛物线是一般形式：选用方法二简便2、求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于y轴对称的点为(-x,y)y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线位y=2×(-x)2-4×(-x)-5即：y=2x2+4x-5在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于原点对称的点为(-x,-y)3、求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。y=2x2-4x-5关于原点对称的抛物线为-y=2×(-x)2-4×(-x)-5即：y=-2x2-4x+54、求抛物线y=2x2-4x-5绕着顶点旋转180°得到的抛物线y=2(x-1)2-7化为顶点式：顶点坐标（1，-7）开口相反，顶点不变y=2x2-4x-5绕着顶点旋转180°得到的抛物线为y=-2(x-1)2-7“将军饮马”问题唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”作点A关于河流的对称点A′A′B交河流于点P则AP+BP=A′B最短巧用“对称性”求距离和差最值如图,抛物线y＝0.5x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D,且A(－1，0).若点M（m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．若点N(n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC的值最小时，求n的值.在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ周长最小？在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？二次函数专题训练之增减性yOx-1-212-33-112-21、若二次函数y=ax2+c，当x取x1,x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是（）（A）a+c（B）a-c（C）-c（D）c练：一元一次方程y=ax2+bx+c的根为x1,x2且x1+x2=4，点A（3，-8）在二次函数y=ax2+bx+c上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为。2、抛物线y=a(x+1)2+2的部分图像如图所示，该抛物线在y轴右半部分与x轴的交点坐标是（）（A）（0.5，0）（B）（1，0）（C）（2，0）（D)（3，0）练：抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，若y0,则x的取值范围是.–113O3、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标是-3和1，则抛物线的对称轴是。练、已知一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线顶点坐标是（）A．(2，－3)B．(2，1)C．(2，3)D．(3，2)Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．5024、小明从右边的函数y=ax2+bx+c图像中观察得出了下面五条信息，①a0，②c=0，③函数的最小值是-3，④当x0时，y0，⑤当0x1x22时，y1y2，你认为正确的个数是（）5、6、5、6、