2020高考理数全国卷一-试题及答案解析

理科数学-第1页2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若1zi，则22zzA．0B．1C．2D．22．设集合240Axx,20Bxxa,且21ABxx,则aA．4B．2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．514B．512C．514D．5124．已知A为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则pA．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据,1,2,,20iixyi得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是理科数学-第2页A．yabxB．2yabxC．xyabeD．lnyabx6．函数43()2fxxx的图像在点1,1f处的切线方程为A．21yxB．21yxC．23yxD．21yx7．设函数()cos6fxx在,的图像大致如下图，则()fx的最小正周期为A．109B．76C．43D．328．25()()yxxyx的展开式中33xy的系数为A．5B．10C．15D．209．已知(0,)，且3cos28cos5，则sinA．53B．23C．13D．5910．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，1O为ABC△的外接圆．若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为A．64B．48C．36D．3211．已知22:2220Mxyxy，且直线:220lxy，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当ABPM最小时，直线AB的方程为A．210xyB．210xyC．210xyD．210xy12．若242log42logabab，则A．2abB．2abC．2abD．2ab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,xy满足约束条件2201010xyxyy，则7zxy的最大值是________．14．设,ab为单位向量，且1ab，则ab________．15．已知F为双曲线2222:1xyCab（0,0ab）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB斜率为3，则C的离心率为_______．16．如图，在三棱锥PABC的平面展开图中1AC，3ABAD，ABAC，ABAD，30CAE，则cosFCB__________．理科数学-第3页三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．（1）求na的公比；（2）若11a，求数列nna的前项和．18．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．ABC△是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO．（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值．19．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．20．（12分）已知,AB分别为椭圆222:1(1)xEyaa的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB．P为直线6x上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．21．（12分）已知函数2xfxeaxx．（1）当1a时，讨论fx的单调性；（2）当0x时，3112fxx，求a的取值范围．理科数学-第4页（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cossinkkxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30，（1）当1k时，1C是什么曲线？（2）当4k时，求1C与2C的公共点的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数3121fxxx．（1）画出yfx的图象；（2）求不等式1fxfx的解集．理科数学参考答案标准版-第1页参考答案一、选择题1【答案】D.【解析】∵2221212zzii,∴2222zz，故选D.2.【答案】.B【解析】240Axx22xx,20Bxxa2axx,∵21ABxx,∴12a,∴2.a故选.B3.【答案】.C【解析】如图，设金字塔对应的正四棱锥的高为h，金字塔斜面上的高为'h，金字塔底面边长为a，则有22221'2'2hahhhh化简得22''4210hhaa，解得'514ha.故选.C4.【答案】.C【解析】设点,Axy，由点Ay轴的距离为9得9x，根据抛物线定义，由A到C的焦点的距离为12得122px，即6122p，解得6.p故选.C5.【答案】.D【解析】由题中散点图可知，大致分布在一条递增的对数型函数图象附近，故选.D6.【答案】.B【解析】∵32'46fxxx,∴'12kf,又∵1121f,∴由点斜式方程可得所求切线方程为121yx,即21yx.故选.B7.【答案】.C【解析】根据函数图象得409f，∴4cos096，∴4962kkZ，解得394kkZ，又∵22TT，∴242，解得12，∴32，∴最小正周期243T.故选.C8.【答案】.C【解析】∵5xy的通项为5150,1,,5rrrrTCxyr，h'ha理科数学参考答案标准版-第2页∴1r时，2143355yCxyxyx；3r时，32333510xCxyxy.∴33xy项的系数为51015.故选.C9.【答案】.A【解析】根据余弦倍角公式，3cos28cos5可化为23cos4cos40，解得cos2（舍）或2cos3.∵0,，∴5sin3.故选.A10.【答案】.A【解析】不妨设ABa，1O的半径为r，球O的半径为R，依题意有24r，∴2r，又133rOAa，∴23a,222114ROOOA，∴球O的表面积为2464R.故选.A11.【答案】.D【解析】M方程化为标准方程得：22114xy，∵四边形PAMB的面积112222PAMSPMABSPAAM2224PAPM∴当且仅当PM最小时ABPM最小，此时PMl，又∵:220lxy，∴11:22PMyx，易得PM与直线l的交点坐标1,0P，∴过1,0P作M的切线所得切点所在直线方程为210xy，故选.D12.【答案】.B【解析】22422log42log2logabbabb，∵2222222log2log221logbbbbbb∴2222log2logabab，构造函数22logxfxx，易知fx在0,单调递增，∴由2fafb得2ab，故选.B二、填空题13.【答案】1.【解析】如图，易知当直线7zxy经过直线220xy与10xy的交点1,0时，z取最大值，max1701z.14.【答案】3.xy10y220xy10xy1,0O理科数学参考答案标准版-第3页【解析】∵222221abababab,∴12ab,∴22243abababab,∴3ab.15.【答案】2.【解析】由题意得,0,,0AaFc，∵BF为通径长的一半，∴2,bBca，又2213bbcaakecaacaa，∴离心率2e.16.【答案】1.4【解析】根据题意得26BDAB，∵,,DEF三点重合，∴3AEAD，6BFBD，在ACE中，由余弦定理得2222cosCEACAEACAEACE13213cos301∴1CECF，在BCF中，根据余弦定理得2221cos24BCCFBFFCBBCCF三、解答题17.解：（1）设na的公比为q，由题设得1232aaa，即21112aaqaq∴220qq，解得1q（舍去）或2q.∴na的公比为2.（2）记nS为nna的前n项和，由（1）及题设可知12nna，∴11222nnSn①2222212nnSn②由①②得21312222nnnSn1223nnn∴312199nnnS18.解：（1）设DOa，由题设可得理科数学参考答案标准版-第4页63,,63POaAOaABa，22PAPBPCa，∴222PAPBAB，∴PAPB，又222PAPCAC，∴PAPC，∴PA平面PBC（2）以O为坐标原点,OE方向为y轴正方向,OE为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设可得310,1,0,0,1,0,,,022EAC，20,0,2P，∴312,,0,0.1,222ECEP。设m,,xyz是平面PCE的一个法向量，则